Áramlás és folytonosság
A folytonossági egyenlet elsősorban tömegmegmaradási állítás, nem egyszerű „csőképlet”. Szűkület, elágazás, fúvóka és összenyomható áramlás ugyanannak a mérlegnek különböző esetei.
Térfogatáram és tömegáram
A keresztmetszet A, az átlagos normális sebesség v. Δt alatt a folyadék vΔt utat tesz meg, ezért ΔV≈AvΔt, vagyis Q=dV/dt=Av. Q m³·s⁻¹-ben mérhető.
ρ sűrűségnél a tömegáram ṁ=ρAv. Ez az általánosabb mennyiség, mert a tömeg akkor is megmarad, ha a sűrűség változik.
A folytonosság mint tömegmegmaradás
Állandósult, egy be- és egy kimenetű áramlásnál a vizsgált térfogatban nem halmozódik fel tömeg, így ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Összenyomhatatlan folyadéknál ρ₁=ρ₂, ezért A₁v₁=A₂v₂=Q.
Ha a keresztmetszet a negyedére csökken, az átlagsebesség négyszeresére nő. A képletben a terület szerepel, nem az átmérő, ezért a négyzetes geometriai kapcsolatot figyelembe kell venni.
Példa: fúvóka
3,0 cm átmérőjű tömlőben 1,5 m·s⁻¹ sebességgel áramló víz 1,0 cm átmérőjű fúvókába jut. Mivel A∝d², A₁/A₂=9, így v₂=13,5 m·s⁻¹. A sebesség kilencszeresére nő, nem háromszorosára.
Elágazások és tárolás
Állandósult összenyomhatatlan csomópont
Qbe=Q₁+Q₂+…. A kilépő térfogatáramok összege egyenlő a belépővel.
Általános tömegmérleg
ṁbe−ṁki=dMbent/dt. Töltődő vagy ürülő tartálynál a be- és kiáramlás pillanatnyilag nem feltétlenül azonos. A folytonosság tehát nem azt jelenti, hogy minden ágban ugyanakkora az áram.
A folytonossági egyenlet lokális alakja
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
Az első tag a helyi sűrűségváltozást, a divergenciatag a tömegfluxus szétterülését vagy összetartását méri. Összenyomhatatlan áramlásnál gyakori következmény ∇·u=0. Az „összenyomhatatlan” azt jelenti, hogy egy mozgó folyadékelem sűrűsége lényegében állandó marad.
A folytonosság nem Bernoulli-egyenlet
Folytonosság
Tömegmegmaradásból ered, és ρ, A, v mennyiségeket kapcsol össze.
Bernoulli
Energetikai mérlegből származik további feltételek mellett, és a nyomást, sebességet és magasságot kapcsolja össze egy áramvonal mentén.
A szűkület a folytonosság miatt növelheti a sebességet, de ebből önmagában nem következik a nyomás. Ahhoz impulzus- vagy energiamérleg is szükséges.
Kísérlet és modellhatárok
Egyszerű mérés: adott idő alatt gyűjtsük össze a kifolyó folyadékot. A térfogat/idő adja Q-t; a belső átmérőből A, majd v=Q/A számítható. Másik fúvókával ismételve közvetlenül vizsgálható a terület–sebesség kapcsolat.
Az A₁v₁=A₂v₂ alak állandósult, összenyomhatatlan, szivárgás- és tárolásmentes szakaszra érvényes. Erősen változó gázsűrűségnél ρAv kell; töltődő tartálynál felhalmozódási tagot; szivárgásnál külön kiáramlást kell figyelembe venni.
Feladatok
Csőszűkület
Összenyomhatatlan folyadék 2,0 m·s⁻¹ sebességgel halad 6,0 cm² keresztmetszeten, amely 2,0 cm²-re szűkül. Mennyi az új átlagsebesség?
Megoldás
A₁v₁=A₂v₂, így v₂=(6,0/2,0)×2,0=6,0 m·s⁻¹.
Elágazás
12 L·s⁻¹ állandósult áram ér egy csomóponthoz. Az egyik ág 4 L·s⁻¹-t visz el. Mennyi a másik ág árama tárolás nélkül?
Megoldás
Q₂=12−4=8 L·s⁻¹.
Összenyomható áramlás
Miért elégtelen az A₁v₁=A₂v₂, ha a gáz sűrűsége jelentősen változik?
Megoldás
Mert a térfogatáram nem marad állandó sűrűségváltozáskor. Állandósult esetben ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂ használandó.