Proudění a rovnice kontinuity

Objemový a hmotnostní průtok

Pro přibližně rovnoměrný průtok průřezem platí Q = dV/dt = Av, kde v je střední kolmá složka rychlosti. Hmotnostní průtok je ṁ = ρAv.

Jednotkou Q je m³/s a jednotkou ṁ kg/s. Při nerovnoměrném profilu rychlosti představuje Av zjednodušený zápis integrálu přes celý průřez.

Kontinuita jako zachování hmoty

Pro ustálený tok s jedním vstupem a výstupem platí ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. Je-li hustota prakticky konstantní, dostaneme A₁v₁ = A₂v₂ = Q.

V užší části nekompresibilního proudu musí být větší střední rychlost. Tento závěr plyne z bilance hmoty, nikoli z předpokladu o tlaku.

Průměr není plocha

Pro kruhovou trubici A = πD²/4. Poloviční průměr znamená čtvrtinovou plochu, takže při stejném Q se průměrná rychlost zvětší čtyřikrát.

Častou chybou je škálovat rychlost přímo s průměrem. V rovnici kontinuity se musí porovnávat plochy průřezů.

Větvení a akumulace

V ustáleném uzlu pro nekompresibilní kapalinu platí Q_in = Q₁ + Q₂ + …. Při proměnné hustotě je vhodnější bilancovat hmotnostní průtoky.

Pokud se množství hmoty uvnitř kontrolního objemu mění, platí ṁ_in − ṁ_out = dM_inside/dt. Větší přítok než odtok tedy znamená akumulaci.

Lokální tvar

Obecný lokální zápis je ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. Spojuje časovou změnu hustoty s prostorovou divergencí toku hmoty.

Pro konstantní hustotu nekompresibilního toku z něj plyne ∇·u = 0. Rychlost však nemusí být všude stejná; pole může měnit směr i velikost.

Kontinuita není Bernoulliho rovnice

Kontinuita vyjadřuje zachování hmoty. Bernoulliho rovnice za určitých předpokladů vyjadřuje bilanci mechanické energie mezi tlakem, rychlostí a výškou.

Viskozita, čerpadla a stlačitelnost mohou jednoduchý Bernoulliho model změnit, ale zákon zachování hmoty zůstává nutnou podmínkou.

Volba kontrolních průřezů

Průřezy volíme tam, kde lze rozumně určit plochu a střední rychlost. Nejprve zapíšeme všechny vstupy, výstupy a případnou akumulaci, teprve potom dosazujeme čísla.

Ustálený výsledek, v němž se součet vstupních hmotnostních průtoků nerovná součtu výstupních, signalizuje chybu nebo chybějící větev.

Střední rychlost a skutečný profil

Rychlost v reálné trubici nemusí být v každém bodě průřezu stejná. U laminárního toku bývá profil zakřivený a u stěny rychlost kvůli podmínce neprokluzu klesá k nule, zatímco ve středu je vyšší.

V rovnici Q = Av proto v znamená vhodnou střední rychlost přes průřez. Měříme-li rychlost jen v jediném bodě, nelze ji bez znalosti profilu automaticky považovat za tuto střední hodnotu.

Řešené příklady

1. 12 cm² na 4 cm²

2. Poloviční průměr

3. Rozvětvení