Strømning og kontinuitet

Volumstrøm og massestrøm

Volumstrømmen gjennom et tverrsnitt er Q = Av når hastigheten kan representeres med en passende middelverdi over arealet A. Enheten er m³ s⁻¹. Massestrømmen er ṁ = ρAv, med enhet kg s⁻¹. For en komprimerbar gass kan ρ endres langs røret selv om massestrømmen er konstant.

Kontinuitet er massebevaring

For stasjonær strømning gjennom ett innløp og ett utløp gjelder ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. For en tilnærmet inkompressibel væske er tettheten den samme på begge steder, og likningen reduseres til A₁v₁ = A₂v₂ = Q.

Regneeksempel: en dyse

Vann går fra et rør med diameter 3,0 cm til en dyse med diameter 1,0 cm. Arealet er proporsjonalt med diameter², så A₁/A₂ = 3²/1² = 9. Hvis v₁ = 1,5 m s⁻¹, gir kontinuitet v₂ = 13,5 m s⁻¹. Den smalere dysen gir høyere fart fordi samme volum per sekund må passere.

Forgreninger og lagring

Stasjonær inkompressibel forgrening

I et knutepunkt uten akkumulering må volumstrømmen inn være lik summen ut: Q_inn = Q₁ + Q₂ + …. Dette er den samme bevaringsregelen brukt på flere grener.

Generell massebalanse

Hvis masse kan samles opp i et kontrollvolum, er den generelle formen ṁ_inn − ṁ_ut = dM_inni/dt. Stasjonær tilstand betyr at høyresiden er null, ikke at hvert fluidpartikkel står stille.

Den lokale formen

I et kontinuerlig felt skrives massebevaring som ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. For konstant tetthet blir dette ∇·u = 0. Den lokale formen uttrykker samme idé i hvert lite volumelement.

Kontinuitet er ikke Bernoulli

Kontinuitetslikningen

Kontinuitet følger av massebevaring. Den sier hvordan strømning gjennom ulike arealer må henge sammen, men den bestemmer ikke alene trykk eller energi.

Bernoulli-likningen

Bernoulli kobler trykk, fart og høyde under strengere forutsetninger om blant annet stasjonær, ikke-viskøs strømning langs en strømlinje. Et problem kan kreve både kontinuitet og Bernoulli, men de uttrykker forskjellige bevaringslover.

Forsøk og modellgrenser

Mål volumet som passerer på kjent tid og sammenlign Q = ΔV/Δt med Av. I virkelige rør er hastigheten ikke uniform over tverrsnittet, så v i Q = Av er en middelhastighet. Ved komprimerbar strømning, lekkasjer eller tidsvariasjon må den enkleste formen brukes med forsiktighet.

Øvelser

Rørsammentrekning

Et inkompressibelt fluid går fra areal 6,0 cm² med fart 2,0 m s⁻¹ til areal 2,0 cm². Finn v₂.

Forgrening

12 L s⁻¹ kommer inn i et knutepunkt. Én gren fører 4 L s⁻¹ ut. Hva går i den andre?

Komprimerbar strøm

Hvilken størrelse må være den samme ved to snitt i stasjonær én-dimensjonal komprimerbar strømning?