Tok in kontinuiteta

Volumenski in masni pretok

Za približno enakomeren tok skozi presek velja Q = dV/dt = Av, kjer je v povprečna pravokotna komponenta hitrosti. Masni pretok je ṁ = ρAv.

Enota Q je m³/s, enota ṁ pa kg/s. Pri neenakomernem profilu je Av poenostavljen zapis integrala hitrosti po preseku.

Kontinuiteta kot ohranitev mase

Za stacionarni tok z enim vhodom in izhodom velja ρ₁A₁v₁ = ρ₂A₂v₂. Pri skoraj stalni gostoti dobimo A₁v₁ = A₂v₂ = Q.

V ožjem delu nestisljivega toka mora biti povprečna hitrost večja. Ta sklep izhaja iz bilance mase, ne iz enačbe za tlak.

Premer in površina

Za krožno cev je A = πD²/4. Polovični premer pomeni štirikrat manjšo površino, zato se pri istem Q povprečna hitrost poveča štirikrat.

Pogosta napaka je neposredno primerjati premere. V enačbi kontinuitete nastopajo površine presekov.

Razvejitve in kopičenje

V stacionarnem vozlišču za nestisljivo tekočino velja Q_in = Q₁ + Q₂ + …. Pri spremenljivi gostoti je pravilneje bilancirati masne pretoke.

Če se masa v kontrolnem volumnu spreminja, velja ṁ_in − ṁ_out = dM_inside/dt. Večji dotok od odtoka zato pomeni kopičenje.

Lokalna oblika

Splošni lokalni zapis je ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. Poveže časovno spremembo gostote z divergenco masnega toka.

Za tok s stalno gostoto sledi ∇·u = 0. To ne pomeni, da je hitrost povsod enaka; spreminjata se lahko njena velikost in smer.

Kontinuiteta ni Bernoullijeva enačba

Kontinuiteta izraža ohranitev mase. Bernoullijeva enačba pod določenimi predpostavkami poveže tlak, hitrost in višino prek mehanske energije.

Viskoznost, črpalke in stisljivost lahko spremenijo energijsko bilanco, vendar mora masa ostati ohranjena.

Izbira kontrolnega preseka

Preseke izberemo tam, kjer lahko smiselno določimo površino in povprečno hitrost. Najprej zapišemo vse vhode, izhode in kopičenje, nato vstavimo številke.

Če se v stacionarnem stanju vsota vhodnih masnih pretokov ne ujema z izhodnimi, manjka veja ali pa je model napačen.

Povprečna hitrost in dejanski profil

Hitrost v resnični cevi ni nujno enaka v vseh točkah preseka. Pri laminarnem toku je profil ukrivljen in ob steni zaradi pogoja brez zdrsa pade proti nič, v sredini pa je večji.

V zvezi Q = Av zato v pomeni ustrezno povprečno hitrost po preseku. Meritve hitrosti v eni sami točki brez poznavanja profila ne smemo samodejno uporabiti kot povprečno vrednost.

Rešeni primeri

1. 12 cm² na 4 cm²

2. Polovični premer

3. Razvejitev