Plūsma un nepārtrauktība
Nepārtrauktības vienādojums vispirms ir masas nezūdamības likums, nevis tikai „cauruļu formula”. Sašaurinājumi, atzarojumi, sprauslas un saspiežamas plūsmas ir viena un tā paša bilances principa varianti.
Tilpuma un masas plūsmas ātrums
Caur A laukuma šķēlumu šķidrums ar vidējo normālo ātrumu v laikā Δt pārvietojas par vΔt, tāpēc ΔV≈AvΔt un Q=dV/dt=Av. Q mērvienība ir m³·s⁻¹.
Ja blīvums ir ρ, masas plūsmas ātrums ir ṁ=ρAv. Tas ir vispārīgāks lielums, jo masa saglabājas arī tad, ja blīvums mainās.
Nepārtrauktība kā masas saglabāšanās
Stacionārā plūsmā ar vienu ieeju un vienu izeju izvēlētajā apgabalā masa neuzkrājas, tāpēc ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂. Nesaspiežamam šķidrumam ρ₁=ρ₂ un A₁v₁=A₂v₂=Q.
Ja laukums samazinās četras reizes, vidējais ātrums palielinās četras reizes. Vienādojumā ir laukums, nevis diametrs, tāpēc jāņem vērā A∝d².
Piemērs: sprausla
Ūdens plūst pa 3,0 cm diametra šļūteni ar 1,5 m·s⁻¹ un nonāk 1,0 cm diametra sprauslā. Tā kā A∝d², A₁/A₂=9, tātad v₂=13,5 m·s⁻¹. Ātrums palielinās deviņas, nevis trīs reizes.
Atzarojumi un uzkrāšanās
Stacionārs nesaspiežams mezgls
Qieeja=Q₁+Q₂+…. Izejošo tilpuma plūsmu summa ir vienāda ar ienākošo.
Vispārīga masas bilance
ṁieeja−ṁizeja=dMiekšā/dt. Piepildoties vai iztukšojoties tvertnei, ieplūde un izplūde konkrētajā brīdī var nebūt vienādas. Tāpēc nepārtrauktība nenozīmē vienādu plūsmu katrā zarā.
Nepārtrauktības vienādojuma lokālā forma
∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0
Pirmais loceklis raksturo lokālu blīvuma izmaiņu, divergences loceklis – vai masas plūsma izkliedējas no maza apgabala vai tajā saplūst. Nesaspiežamai plūsmai bieži seko ∇·u=0. „Nesaspiežams” nozīmē, ka kustīga šķidruma elementa blīvums būtiski nemainās.
Nepārtrauktība nav Bernulli vienādojums
Nepārtrauktība
Izriet no masas saglabāšanās un saista ρ, A un v.
Bernulli
Izriet no enerģijas bilances ar papildu pieņēmumiem un saista spiedienu, ātrumu un augstumu gar plūsmas līniju.
Sašaurinājums nepārtrauktības dēļ var palielināt ātrumu, taču no tā vien spiedienu noteikt nevar. Vajadzīgs impulsa vai enerģijas sakars un tā pieņēmumi.
Eksperiments un modeļa robežas
Vienkāršs tests: noteiktā laikā savākt izplūstošo šķidrumu. Tilpums dalīts ar laiku dod Q; no iekšējā diametra nosaka A un tad v=Q/A. Atkārtojot ar citu sprauslu, tieši pārbauda laukuma–ātruma sakarību.
A₁v₁=A₂v₂ pieņem stacionāru, nesaspiežamu plūsmu bez noplūdes un uzkrāšanās starp šķēlumiem. Gāzei ar būtisku blīvuma maiņu lieto ρAv; piepildošai tvertnei pievieno uzkrāšanos; noplūdi uzskata par papildu izeju.
Uzdevumi
Caurules sašaurinājums
Nesaspiežams šķidrums plūst ar 2,0 m·s⁻¹ caur 6,0 cm² laukumu, kas sašaurinās līdz 2,0 cm². Atrodiet jauno vidējo ātrumu.
Risinājums
A₁v₁=A₂v₂, tātad v₂=(6,0/2,0)×2,0=6,0 m·s⁻¹.
Mezgls
Stacionāra 12 L·s⁻¹ plūsma sasniedz mezglu. Viens zars aizvada 4 L·s⁻¹. Kāda ir otra zara plūsma, ja uzkrāšanās nav?
Risinājums
Q₂=12−4=8 L·s⁻¹.
Saspiežama plūsma
Kāpēc A₁v₁=A₂v₂ nav pietiekams, ja gāzes blīvums būtiski mainās?
Risinājums
Tilpuma plūsma blīvuma maiņas gadījumā nesaglabājas. Stacionārai plūsmai lieto ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂.