Moviment circular
El moviment circular és, abans que res, un problema de vectors. Un objecte pot conservar el mateix mòdul de velocitat i, tanmateix, accelerar perquè el vector velocitat canvia contínuament de direcció. La pregunta física és quina força real, o quina combinació de forces, produeix l’acceleració cap al centre.
Descripció angular i lineal
En una circumferència de radi r, la longitud d’arc i l’angle compleixen s = rθ si θ s’expressa en radians. La velocitat angular és ω = dθ/dt i l’acceleració angular és α = dω/dt.
Moviment circular uniforme
v = rω. ω i el mòdul de v són constants, però la direcció de v canvia.
Velocitat variable
at = rα = dv/dt. L’acceleració tangent modifica el mòdul de la velocitat.
Acceleració centrípeta
ac = v²/r = rω² = 4π²r/T²
Aquesta acceleració apunta cap al centre de curvatura. En moviment circular uniforme és perpendicular a v: canvia la direcció sense canviar el mòdul. El quadrat és important: a radi fix, doblar la velocitat exigeix quatre vegades més acceleració centrípeta.
Les forces reals proporcionen la resultant cap endins
La segona llei de Newton dona Fcap endins, neta = mac = mv²/r. “Força centrípeta” descriu el paper de la resultant; no és una força fonamental addicional.
Satèl·lit
La gravetat proporciona la força cap al centre.
Cotxe en carretera plana
La fricció estàtica pot proporcionar-la.
Massa lligada a una corda
La tensió pot proporcionar-la.
Exemple resolt: un cotxe en una corba plana
Un cotxe de 1200 kg circula a 15 m s⁻¹ per una corba plana de radi 50 m.
ac = 15²/50 = 4,5 m s⁻²
Fcap endins = 1200 × 4,5 = 5,4 × 10³ N
En una carretera plana, la fricció estàtica ha de proporcionar aquesta resultant. Amb coeficient màxim μs, una aproximació de no lliscament és v ≤ √(μsgr).
Corbes peraltades
El peralt inclina la força normal perquè tingui una component horitzontal cap al centre. A la velocitat de disseny ideal, sense necessitat de fricció, tan θ = v²/(rg).
Aquest és un resultat de balanç de forces, no un límit universal de velocitat: pneumàtics, adherència i dinàmica real del vehicle també compten.
Cercles verticals i velocitat variable
En un cercle vertical, la direcció cap al centre canvia al llarg del recorregut, mentre que el pes sempre apunta cap avall. Cal escriure el balanç radial específic al punt superior, lateral o inferior.
Si el mòdul de la velocitat també canvia, l’acceleració total té dues components: ar = v²/r i at = dv/dt. La suma vectorial dona l’acceleració real.
La distinció entre velocitat i rapidesa és essencial. La rapidesa pot ser constant mentre el vector velocitat gira. Com que l’acceleració mesura el canvi del vector velocitat per unitat de temps, una trajectòria corba ja implica acceleració encara que el velocímetre no canviï.
Quan es resol un problema de forces, convé triar primer la direcció radial positiva i projectar-hi les forces reals. Després s’imposa que la suma radial sigui mv²/r. Escriure “F centrípeta” com una força extra acostuma a duplicar la mateixa interacció i porta a errors de signe o de magnitud.
El moviment no uniforme combina dues tasques diferents: ar canvia la direcció de v i at en canvia el mòdul. Són perpendiculars en cada instant, de manera que la magnitud total és √(ar²+at²). Aquesta descomposició és útil en corbes on el vehicle accelera o frena mentre gira.
Exercicis
Plataforma giratòria
Un punt és a 0,40 m de l’eix i la plataforma gira a 3,0 rad s⁻¹. Calcula v i ac.
Solució
v = rω = 1,2 m s⁻¹; ac = rω² = 3,6 m s⁻².
Velocitat doblada
Un cotxe pren la mateixa corba al doble de velocitat. Com canvia la força radial necessària?
Solució
Com que F ∝ v², es fa quatre vegades més gran.
Diagrama de cos lliure
Un satèl·lit segueix una òrbita gairebé circular. Cal dibuixar una fletxa separada de “força centrípeta”?
Solució
No. Es dibuixa la força real, la gravetat. La seva resultant cap al centre produeix l’acceleració centrípeta.