Kreisbewegung
Kreisbewegung ist zunächst ein Vektorproblem und erst danach ein Formelproblem. Ein Körper kann seinen Geschwindigkeitsbetrag beibehalten und dennoch beschleunigen, weil sich der Geschwindigkeitsvektor ständig dreht. Die zentrale Frage lautet daher: Welche reale Kraft oder Kombination von Kräften erzeugt die erforderliche nach innen gerichtete Beschleunigung?
Winkel- und lineare Beschreibung
Für eine Bewegung auf einem Kreis mit Radius r erfüllen Bogenlänge und Winkelposition die Beziehung s = rθ wenn θ im Bogenmaß angegeben wird. Die Winkelgrößen sind ω = dθ/dt und α = dω/dt.
Gleichförmige Kreisbewegung
v = rω
ω und der Geschwindigkeitsbetrag sind konstant, die Richtung der Geschwindigkeit ändert sich jedoch.
Veränderlicher Geschwindigkeitsbetrag
at = rα = dv/dt
Die Tangentialbeschleunigung verändert den Betrag der Geschwindigkeit.
Zentripetalbeschleunigung
Die für die Krümmung der Bahn erforderliche nach innen gerichtete Beschleunigung hat den Betrag:
ac = v²/r = rω² = 4π²r/T²
Sie zeigt zum Krümmungsmittelpunkt. Bei gleichförmiger Kreisbewegung steht sie senkrecht auf v und ändert daher die Richtung, ohne den Geschwindigkeitsbetrag zu verändern.
Das Quadrat ist entscheidend: Bei festem Radius erfordert eine Verdopplung des Geschwindigkeitsbetrags die vierfache nach innen gerichtete Beschleunigung.
Reale Kräfte liefern die resultierende Kraft nach innen
Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt Fnach innen, resultierend = mac = mv²/r . „Zentripetalkraft“ bezeichnet die nach innen gerichtete Rolle der resultierenden Kraft; sie ist keine zusätzliche fundamentale Kraft.
Satellit
Die Gravitation liefert die nach innen gerichtete Kraft.
Auto auf ebener Straße
Haftreibung kann die nach innen gerichtete Kraft liefern.
Masse an einer Schnur
Die Seilspannung kann die nach innen gerichtete Kraft liefern.
Durchgerechnetes Beispiel: Auto in einer ebenen Kurve
Ein Auto mit 1200 kg fährt mit 15 m·s⁻¹ durch eine ebene Kurve mit Radius 50 m.
ac = 15²/50 = 4,5 m s⁻²
Fnach innen = 1200 × 4,5 = 5,4 × 10³ N
Auf ebener Straße muss die Haftreibung diese Kraft liefern. Ist μs der maximale Haftreibungskoeffizient, lautet die Bedingung gegen Rutschen näherungsweise v ≤ √(μsgr).
Überhöhte Kurven
Die Überhöhung neigt die Normalkraft so, dass sie eine horizontale Komponente nach innen besitzt. Für eine ideale Auslegungsgeschwindigkeit, bei der keine Reibung erforderlich ist:
tan θ = v²/(rg)
Das ist ein Ergebnis der Kräftebilanz und keine universelle Geschwindigkeitsgrenze. Reale Reifen, Straßenbedingungen und Fahrdynamik spielen weiterhin eine Rolle.
Vertikale Kreisbahnen und veränderliche Geschwindigkeit
Bei einer vertikalen Kreisbahn ändert sich die Richtung nach innen entlang der Bahn, während die Gewichtskraft stets nach unten zeigt. Die Radialgleichung muss daher am oberen, seitlichen und unteren Punkt getrennt aufgestellt werden.
Am oberen Punkt kann die Gewichtskraft zur nach innen gerichteten Kraft beitragen. Am unteren Punkt zeigt die Gewichtskraft vom Mittelpunkt weg, während Normalkraft oder Seilspannung nach innen zeigen. Die erforderliche radiale resultierende Kraft bleibt mv²/r.
Ändert sich der Geschwindigkeitsbetrag, besitzt die Gesamtbeschleunigung radiale und tangentiale Komponenten: ar = v²/r und at = dv/dt. Ihre Vektorsumme ergibt die tatsächliche Beschleunigung.
Aufgaben
Rotierende Plattform
Ein Punkt befindet sich 0,40 m von der Achse einer Plattform entfernt, die sich mit 3,0 rad·s⁻¹ dreht. Bestimme seinen Geschwindigkeitsbetrag und seine Zentripetalbeschleunigung.
Lösung
v = rω = 1,2 m s⁻¹. ac = rω² = 3,6 m s⁻².
Geschwindigkeit verdoppelt
Ein Auto durchfährt dieselbe Kurve mit dem doppelten ursprünglichen Geschwindigkeitsbetrag. Wie ändert sich die erforderliche Kraft nach innen?
Lösung
Bei festen m und r gilt F ∝ v²; die erforderliche Kraft nach innen wird daher viermal so groß.
Freikörperbild
Ein Satellit bewegt sich auf einer nahezu kreisförmigen Bahn. Sollte man einen zusätzlichen Pfeil für die Zentripetalkraft einzeichnen?
Lösung
Nein. Zeichne die reale Kraft ein – die Gravitation. Ihre nach innen gerichtete Resultierende erzeugt die Zentripetalbeschleunigung.