Cirkelbevægelse

Cirkelbevægelse er først et vektorproblem og derefter et formelproblem. Et legeme kan bevare samme fart og stadig accelerere, fordi hastighedsvektorens retning ændres hele tiden. Det centrale spørgsmål er, hvilken virkelig kraft eller kombination af kræfter der giver accelerationen ind mod centrum.

v er tangent; centripetalaccelerationen peger indad

Vinkel- og lineær beskrivelse

For en cirkel med radius r gælder s=rθ, når θ måles i radianer. ω=dθ/dt og α=dω/dt. Ved jævn cirkelbevægelse er v=rω; ved ændrende fart er a_t=rα=dv/dt.

Jævn cirkelbevægelse

v=rω

Ændrende fart

a_t=rα=dv/dt

Centripetalacceleration

Accelerationen ind mod centrum er a_c=v²/r=rω²=4π²r/T². Ved jævn cirkelbevægelse står den vinkelret på v. Fordobles farten ved fast radius, firedobles a_c.

Virkelige kræfter giver nettokraften indad

Newtons anden lov giver F_ind,net=mv²/r. “Centripetalkraft” er rollen for den radiale nettokraft, ikke en ekstra naturkraft. Tyngdekraft, statisk friktion eller snorspænding kan udfylde rollen.

Satellit

Tyngdekraften leverer kraften indad.

Bil på vandret vej

Statisk friktion kan levere kraften.

Masse i en snor

Snorspænding kan levere kraften.

Eksempel: bil i en flad kurve

En bil på 1200 kg kører 15 m s⁻¹ i en flad kurve med radius 50 m. a_c=4,5 m s⁻² og F_ind=5,4×10³ N. På en vandret vej må statisk friktion levere kraften; en simpel grænse er v≤√(μ_sgr).

Hældende kurver

En hældende kurve drejer normalkraften, så den har en vandret komponent mod centrum. Ved den ideelle designfart uden friktion gælder tanθ=v²/(rg). Det er et kraftbalance-resultat, ikke en universel fartgrænse.

Hældende kurver

Lodrette cirkler og ændrende fart

I en lodret cirkel ændres retningen mod centrum langs banen, mens tyngdekraften altid peger nedad. Den radiale ligning skal derfor skrives for den aktuelle position. Ved ændrende fart findes både a_r=v²/r og a_t=dv/dt.

Forskellen mellem fart og hastighedsvektor er afgørende. Speedometeret kan vise samme tal, mens vektoren v drejer. Da acceleration er ændringen af hele hastighedsvektoren pr. tid, indebærer en krum bane acceleration uden nødvendigvis at ændre farten.

I kraftproblemer er det sikrest først at vælge en radial retning og projicere de virkelige kræfter på den. Derefter sættes den radiale sum lig mv²/r. En ekstra “centripetalkraft” ud over tyngde, friktion eller spænding kommer ofte til at tælle samme fysik to gange.

Ved ikke-jævn cirkelbevægelse har a_r og a_t forskellige roller: den radiale komponent drejer hastighedsvektoren, den tangentielle ændrer farten. De er vinkelrette, så den samlede størrelse er √(a_r²+a_t²).

Perioden og vinkelfrekvensen giver en anden måde at se samme bevægelse på: ω=2π/T. Indsat i a_c=rω² fås a_c=4π²r/T². Det viser direkte, at kortere omløbstid ved samme radius kræver stærkere indadrettet acceleration.

Opgaver

Roterende platform

Et punkt er 0,40 m fra aksen og ω=3,0 rad s⁻¹.

Løsning

v=1,2 m s⁻¹, a_c=3,6 m s⁻².

Farten fordobles

Hvordan ændres den krævede indadrettede kraft?

Løsning

Den bliver fire gange så stor.

Frit-legeme-diagram

Skal en satellit have en særskilt centripetalkraft-pil?

Løsning

Nej. Tegn tyngdekraften; dens indadrettede resultant giver centripetalaccelerationen.