円運動

角運動と直線運動の記述

半径 r の円上では、θ をラジアンで表すと弧長は s = rθ。角速度は ω = dθ/dt、角加速度は α = dω/dt です。

等速円運動

等速円運動では v = rω。ω と速さは一定でも、速度ベクトルの向きは連続的に変化します。

速さが変わる場合

接線加速度は a_t = rα = dv/dt で、速さを変えます。半径方向の加速度は速度の向きを変えます。

向心加速度

軌道を曲げるために必要な内向き加速度は a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T²。曲率中心を向き、等速円運動では v と直交します。半径が同じなら速さを2倍にすると必要な向心加速度は4倍です。

内向きの合力をつくる実在の力

ニュートンの第2法則より F_inward,net = ma_c = mv²/r。「向心力」は新しい種類の力ではなく、合力の内向き成分に付けた役割名です。自由体図には重力・垂直抗力・摩擦・張力など実在する力だけを描きます。

例題：平らなカーブを走る車

質量 1200 kg の車が半径 50 m の平らなカーブを 15 m·s⁻¹ で走ると、a_c = 15²/50 = 4.5 m·s⁻²、必要な内向き合力は 5.4 × 10³ N。平坦な道路では静止摩擦がこれを担います。最大静止摩擦係数を μ_s とすれば、滑らない条件はおよそ v ≤ √(μ_sgr) です。

バンクしたカーブ

道路を傾けると垂直抗力に内向きの水平成分が生まれます。摩擦を必要としない理想設計速度では tan θ = v²/(rg)。これは普遍的な速度制限ではなく、実際にはタイヤや路面状態、車両の特性も重要です。

鉛直円運動と速さの変化

鉛直円運動では内向きの方向が場所ごとに変わる一方、重力は常に下向きです。そのため頂点・側面・最下点で半径方向の式を別々に立てます。頂点では重力が内向きに加わり得ますが、最下点では重力は中心と反対向きです。それでも必要な正味の半径方向の力は mv²/r。速さが変わる場合、全加速度は a_r = v²/r と a_t = dv/dt のベクトル和です。

演習

回転台

回転軸から 0.40 m の点が 3.0 rad·s⁻¹ で回っています。速さと向心加速度を求めてください。

速さを2倍にする

同じ車が同じカーブを2倍の速さで走ると、必要な内向きの力はどうなりますか。

自由体図

ほぼ円軌道を回る衛星に、重力とは別に「向心力」の矢印を追加しますか。