Kreesbeweegung

Kreesbeweegung ass als éischt e Vektorproblem. En Objet kann déi selwecht Vitessmagnitud halen an trotzdeem beschleunegen, well de Vitessvektor dauernd seng Richtung ännert. Déi physikalesch Fro ass, wéi eng reell Kraaft déi néideg Resultant no bannen erzeugt.

v ass tangential; d’zentripetal Beschleunegung weist no bannen

Wénkel- a linear Beschreiwung

Fir e Krees mam Radius r ass s=rθ, wann θ a Radiant steet. ω=dθ/dt an α=dω/dt. Bei gläichméisseger Kreesbeweegung ass v=rω; bei verännerlecher Vitess gëllt a_t=rα=dv/dt.

Gläichméisseg Kreesbeweegung

v=rω

Verännerlech Vitess

a_t=rα=dv/dt

Zentripetal Beschleunegung

D’Beschleunegung no bannen huet a_c=v²/r=rω²=4π²r/T². Si steet bei gläichméisseger Beweegung senkrecht op v. Eng duebel Vitess erfuerdert bei gläichem Radius véiermol sou vill zentripetal Beschleunegung.

Reell Kräfte liwweren d’Resultant no bannen

Dem Newton säi Gesetz gëtt F_{no bannen,net}=mv²/r. “Zentripetalkraaft” ass keng zousätzlech fundamental Kraaft. Beim Satellit liwwert d’Gravitatioun d’Resultant; beim Auto kann et d’Haftreibung sinn; bei enger Mass um Seel d’Spannung.

Satellit

D’Gravitatioun liwwert d’Kraaft no bannen.

Auto op enger flaacher Strooss

Haftreibung kann d’Kraaft liwweren.

Mass un engem Seel

D’Seelspannung kann d’Kraaft liwweren.

Beispill: Auto an enger flaacher Kéier

En Auto vu 1200 kg fiert mat 15 m s⁻¹ duerch eng flaach Kéier mat r=50 m. a_c=4,5 m s⁻² an F_in=5,4×10³ N. Op enger flaacher Strooss muss d’Haftreibung dës Kraaft liwweren; eng einfach Grenz ass v≤√(μ_sgr).

Iwwerhéichte Kéieren

Bei enger iwwerhéichter Kéier huet d’Normalkraaft eng horizontal Komponent zum Zentrum. Fir eng ideal Designvitess ouni Reiwung gëllt tanθ=v²/(rg). Dat ass e Kraaftgläichgewiicht, kee generellt Vitesslimit.

Iwwerhéichte Kéieren

Vertikal Kreeser a verännerlech Vitess

An engem vertikale Krees ännert d’Richtung zum Zentrum, wärend d’Gewiichtskraaft ëmmer no ënnen weist. Déi radial Gläichung muss jee no Positioun geschriwwe ginn. Bei verännerlecher Vitess gëtt et a_r=v²/r an a_t=dv/dt.

Den Ënnerscheed tëscht der Magnitud vun der Vitess an dem Vitessvektor ass zentral. De Speedometer kann dee selwechte Wäert weisen, wärend d’Richtung vum Vektor sech ännert. Well d’Beschleunegung d’Ännerung vum ganze Vektor moosst, bedeit eng gekrëmmte Bunn schonn eng Beschleunegung.

Bei engem Kraaftproblem ass et méi sécher d’radial Richtung festzeleeën an nëmmen déi reell Kräfte ze projizéieren. Duerno gëtt hir radial Zomm gläich mv²/r gesat. Eng extra “Zentripetalkraaft” nieft Gravitatioun, Reiwung oder Spannung zielt dacks déi selwecht Wierkung zweemol.

Bei net gläichméisseger Kreesbeweegung hunn a_r an a_t verschidde Rollen: déi radial Komponent dréit de Vitessvektor, déi tangential ännert seng Magnitud. Si stinn senkrecht openeen, also ass d’Gesamtmagnitud √(a_r²+a_t²).

Mat ω=2π/T kann een déi radial Beschleunegung och als a_c=4π²r/T² schreiwen. Bei gläichem Radius verlaangt eng méi kuerz Period eng méi grouss Beschleunegung no bannen. Déi Form ass nëtzlech, wann eng Rotatioun iwwer hir Period amplaz iwwer v beschriwwe gëtt.

Übungen

Dréiend Plattform

E Punkt ass 0,40 m vun der Achs ewech an ω=3,0 rad s⁻¹.

Léisung

v=1,2 m s⁻¹ an a_c=3,6 m s⁻².

Vitess verduebelt

Wéi ännert déi néideg radial Kraaft?

Léisung

Si gëtt wéinst F∝v² véiermol méi grouss.

Kräftebild

Braucht e Satellit eng extra “Zentripetalkraaft”-Pfeil?

Léisung

Nee. Zeechent d’Gravitatioun; hir Resultant zum Zentrum liwwert déi zentripetal Beschleunegung.