Mouvement circulaire
Le mouvement circulaire est d’abord un problème de vecteurs, avant d’être un problème de formules. Un objet peut conserver la même vitesse scalaire tout en accélérant, car le vecteur vitesse change continuellement de direction. La question centrale devient alors : quelle force réelle, ou quelle résultante de forces, produit l’accélération dirigée vers le centre ?
Descriptions angulaire et linéaire
Pour un mouvement sur un cercle de rayon r, la longueur d’arc et la position angulaire vérifient s = rθ lorsque θ est exprimé en radians. Les grandeurs angulaires sont ω = dθ/dt et α = dω/dt.
Mouvement circulaire uniforme
v = rω
ω et la vitesse scalaire sont constantes, mais la direction du vecteur vitesse change.
Vitesse variable
at = rα = dv/dt
L’accélération tangentielle modifie la norme de la vitesse.
Accélération centripète
L’accélération dirigée vers l’intérieur, nécessaire pour courber la trajectoire, a pour norme :
ac = v²/r = rω² = 4π²r/T²
Elle pointe vers le centre de courbure. En mouvement circulaire uniforme, elle est perpendiculaire à v : elle change donc la direction du mouvement sans modifier la vitesse scalaire.
Le carré est essentiel : à rayon fixé, doubler la vitesse exige une accélération vers le centre quatre fois plus grande.
Des forces réelles fournissent la résultante dirigée vers le centre
La deuxième loi de Newton donne Frésultante vers le centre = mac = mv²/r. L’expression « force centripète » désigne le rôle de la résultante des forces vers le centre ; ce n’est pas une force fondamentale supplémentaire.
Satellite
La gravitation fournit la force dirigée vers le centre.
Voiture sur une route horizontale
Le frottement statique peut fournir la force dirigée vers le centre.
Masse attachée à un fil
La tension du fil peut fournir la force dirigée vers le centre.
Exemple résolu : une voiture dans un virage plat
Une voiture de 1 200 kg roule à 15 m·s⁻¹ dans un virage horizontal de rayon 50 m.
ac = 15²/50 = 4,5 m·s⁻²
Fvers le centre = 1 200 × 4,5 = 5,4 × 10³ N
Sur une route horizontale, le frottement statique doit fournir cette force. Si μs est le coefficient maximal de frottement statique, la condition d’absence de glissement est approximativement v ≤ √(μsgr).
Virages relevés
Un virage relevé incline la réaction normale, qui acquiert ainsi une composante horizontale dirigée vers le centre. À la vitesse de conception idéale, pour laquelle le frottement n’est pas nécessaire :
tan θ = v²/(rg)
Il s’agit d’un résultat d’équilibre des forces, pas d’une limite de vitesse universelle. L’adhérence des pneus, l’état de la chaussée et la dynamique du véhicule restent déterminants.
Cercles verticaux et vitesse variable
Dans un cercle vertical, la direction vers le centre change tout au long de la trajectoire alors que le poids reste toujours vertical vers le bas. L’équation radiale doit donc être écrite séparément au sommet, sur le côté et au bas du cercle.
Au sommet, le poids peut contribuer à la force dirigée vers le centre. En bas, le poids pointe à l’opposé du centre tandis que la réaction normale ou la tension pointe vers le centre. La résultante radiale requise reste mv²/r.
Si la vitesse varie, l’accélération totale possède une composante radiale et une composante tangentielle : ar = v²/r et at = dv/dt. Leur somme vectorielle donne l’accélération réelle.
Exercices
Plateforme tournante
Un point se trouve à 0,40 m de l’axe d’une plateforme tournant à 3,0 rad·s⁻¹. Calculer sa vitesse et son accélération centripète.
Solution
v = rω = 1,2 m·s⁻¹. ac = rω² = 3,6 m·s⁻².
Vitesse doublée
Une voiture prend le même virage à une vitesse deux fois plus grande. Comment varie la force dirigée vers le centre nécessaire ?
Solution
À m et r constants, F ∝ v² : la force nécessaire devient donc quatre fois plus grande.
Diagramme des forces
Un satellite se déplace sur une orbite presque circulaire. Faut-il ajouter une flèche distincte pour une « force centripète » ?
Solution
Non. Il faut représenter la force réelle — ici la gravitation. Sa résultante vers le centre est précisément ce qui produit l’accélération centripète.