圆周运动

角量与线量

半径为 r 的圆周运动中，当角度 θ 用弧度表示时，弧长满足 s = rθ。角速度为 ω = dθ/dt，角加速度为 α = dω/dt。

匀速圆周运动

匀速圆周运动满足 v = rω。ω 和速率可以保持恒定，但速度方向持续改变。

速率变化时

切向加速度 a_t = rα = dv/dt，它改变速度的大小；径向加速度则改变速度方向。两者是不同的矢量分量。

向心加速度

弯曲轨迹所需的向内加速度大小为 a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T²，方向指向曲率中心。在匀速圆周运动中，它与瞬时速度垂直，因此只改变方向而不改变速率。注意平方关系：在半径不变时，速率加倍需要四倍的向内加速度。

实际力提供向内合力

牛顿第二定律给出 F_向内,合 = ma_c = mv²/r。“向心力”描述的是合力在径向上的角色，不是一种额外的基本力。画受力图时应画出真实的力，再取其指向中心的合力。

例题：水平弯道上的汽车

一辆质量 1200 kg 的汽车以 15 m·s⁻¹ 沿半径 50 m 的水平弯道行驶。于是 a_c = 15²/50 = 4.5 m·s⁻²，所需向内合力为 F = 1200 × 4.5 = 5.4 × 10³ N。在水平路面上，这个力通常由静摩擦提供。若最大静摩擦系数为 μ_s，不打滑条件近似为 v ≤ √(μ_sgr)。

倾斜弯道

倾斜路面会让支持力产生水平向内分量。在一个理想设计速度下，如果不需要摩擦，力的分解给出 tan θ = v²/(rg)。这不是普适的“最高速度公式”：真实轮胎、路面状况和车辆动力学仍然会影响安全速度。

竖直圆周与变速运动

竖直圆周中，“向内”方向沿轨迹不断改变，而重力始终向下。因此顶部、侧面和底部应分别写径向方程。在顶部，重力可能帮助提供向内力；在底部，重力指向远离圆心的方向，而支持力或张力通常向内。无论在哪一点，所需的净径向力仍是 mv²/r。若速率也在变化，总加速度由径向分量 a_r = v²/r 和切向分量 a_t = dv/dt 矢量相加得到。

练习

旋转平台

某点距转轴 0.40 m，平台以 3.0 rad·s⁻¹ 匀速转动。求该点的速率和向心加速度。

速率加倍

同一辆汽车在同一弯道上以原来两倍的速率行驶。所需向内合力如何变化？

受力图

卫星近似做圆轨道运动。是否应该额外画一支“向心力”箭头？