Krožno gibanje

Krožno gibanje je najprej vektorski problem. Tudi če je velikost hitrosti stalna, se smer vektorja hitrosti ves čas spreminja, zato ima telo pospešek. Ključno vprašanje je, katera dejanska sila ali rezultanta sil zagotavlja zahtevani pospešek proti središču.

Tudi pri stalni velikosti hitrosti se spreminja njena smer, zato je prisoten pospešek proti središču.

Kotne in linearne količine

Za krožnico s polmerom r velja pri kotu θ v radianih s=rθ. Kotna hitrost je ω=dθ/dt, kotni pospešek pa α=dω/dt. Kotne količine opisujejo vrtenje, v in a pa gibanje izbrane točke po tirnici.

Enakomerno krožno gibanje

Pri enakomernem krožnem gibanju velja v=rω. ω in velikost hitrosti sta lahko stalna, vektor hitrosti pa ves čas spreminja smer.

Ko se velikost hitrosti spreminja

Tangencialna komponenta pospeška a_t=rα=dv/dt spreminja velikost hitrosti. Radialna komponenta spreminja smer. Pri neenakomernem gibanju sta lahko prisotni obe hkrati.

Centripetalni pospešek

a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T²

Ukrivljena tirnica zahteva pospešek proti središču ukrivljenosti: a_c=v²/r=rω²=4π²r/T². Pri enakomernem krožnem gibanju je pravokoten na trenutno hitrost, zato spreminja smer, ne njene velikosti. Ker je odvisnost kvadratna, podvojitev hitrosti pri istem polmeru zahteva štirikrat večji centripetalni pospešek.

Izračun centripetalnega pospeška

hitrost v (m·s⁻¹) polmer r (m)

Dejanske sile dajejo rezultanto proti središču

Drugi Newtonov zakon v radialni smeri je F_{navznoter,rez}=ma_c=mv²/r. »Centripetalna sila« ni nova vrsta sile, ampak ime za vlogo rezultante resničnih sil v smeri središča. V diagramu sil zato narišemo težo, normalno silo, trenje ali napetost in šele nato sestavimo radialno enačbo.

Satelit

Gravitacija lahko predstavlja celotno rezultanto sile proti središču orbite.

Avtomobil na ravni cesti

Statično trenje med pnevmatikami in cesto lahko zagotovi silo proti središču.

Kroglica na vrvici

Napetost vrvice lahko zagotovi potrebno radialno komponento sile.

Primer: avtomobil na ravnem ovinku

Avtomobil z maso 1200 kg vozi po ravnem ovinku polmera 50 m s hitrostjo 15 m·s⁻¹. a_c=15²/50=4,5 m·s⁻², zato mora biti rezultanta proti središču F=1200×4,5=5,4×10³ N. Na ravni cesti jo običajno zagotavlja statično trenje. Če je največji koeficient statičnega trenja μ_s, preprost model da pogoj v≤√(μ_sgr).

Nagnjen ovinek

tan θ = v²/(rg)

Na nagnjenem ovinku ima normalna sila vodoravno komponento, ki lahko zagotovi zahtevani pospešek proti središču.

Na nagnjenem ovinku ima normalna sila vodoravno komponento proti središču. Pri idealni projektni hitrosti brez potrebe po trenju dobimo tanθ=v²/(rg). To ni univerzalna enačba za največjo varno hitrost; pomembni so tudi pnevmatike, stanje podlage in dinamika vozila.

Navpični krog in spremenljiva hitrost

Pri navpičnem kroženju se smer »proti središču« spreminja s položajem, teža pa je vedno navzdol. Radialno enačbo zato zapišemo posebej na vrhu, ob strani in spodaj. Na vrhu teža lahko pomaga zagotavljati rezultanto proti središču, spodaj pa je usmerjena proč od središča in mora biti normalna sila ali napetost večja. V vsaki točki je zahtevana radialna rezultanta mv²/r. Če se spreminja tudi velikost hitrosti, je skupni pospešek vektorska vsota a_r=v²/r in a_t=dv/dt.

Naloge

1. Vrteča ploščad

Točka je 0,40 m od osi, ploščad pa se vrti enakomerno z ω=3,0 rad·s⁻¹. Izračunaj hitrost in centripetalni pospešek.

Rešitev

v=rω=1,2 m·s⁻¹; a_c=rω²=3,6 m·s⁻².

2. Dvojna hitrost

Isti avtomobil isti ovinek prevozi z dvojno hitrostjo. Kako se spremeni zahtevana sila proti središču?

Rešitev

Pri stalnih m in r velja F∝v², zato je potrebna sila štirikrat večja.

3. Diagram sil satelita

Ali je treba satelitu na skoraj krožni orbiti narisati dodatno puščico »centripetalne sile«?

Rešitev

Ne. Narišemo dejanske sile, predvsem gravitacijo. Njena rezultanta proti središču povzroča centripetalni pospešek.