Körmozgás

A körmozgás mindenekelőtt vektorprobléma. A test sebességének nagysága lehet állandó, mégis gyorsul, mert a sebességvektor iránya folyamatosan változik. A lényegi kérdés az, mely valós erő vagy erők eredője biztosítja a középpont felé mutató gyorsulást.

Egyenletes körmozgásnál a sebesség nagysága állandó, az iránya azonban folyamatosan változik, ezért a gyorsulás nem nulla.

Szögtani és lineáris leírás

r sugarú körön az ívhossz és a szöghelyzet kapcsolata s=rθ, ha θ radiánban értendő. A szögsebesség ω=dθ/dt, a szöggyorsulás α=dω/dt.

Egyenletes körmozgás

Állandó ω esetén v=rω. A sebesség nagysága állandó, de a vektor iránya változik.

Változó sebességnagyság

A tangenciális gyorsulás a_t=rα=dv/dt a sebesség nagyságát, a radiális komponens pedig az irányát változtatja.

Centripetális gyorsulás

a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T²

A pálya görbítéséhez szükséges gyorsulás a görbületi középpont felé mutat. Egyenletes körmozgásban merőleges v-re, ezért csak az irányt változtatja. Rögzített sugárnál a sebesség kétszerezése négyszeres centripetális gyorsulást igényel.

Centripetális gyorsulás kalkulátor

Sebesség v (m/s) Sugár r (m)

A valódi erők adják a befelé mutató eredőt

Newton II. törvénye szerint F_{befelé,eredő}=ma_c=mv²/r. A „centripetális erő” nem külön alapvető erő, hanem a középpont felé mutató eredő szerepének neve.

Műhold

A gravitáció adja a befelé mutató erőt.

Autó vízszintes úton

A tapadási súrlódás adhatja a befelé mutató erőt.

Test zsinóron

A zsinór feszítőereje adhatja a befelé mutató erőt.

Példa: autó sík kanyarban

Egy 1200 kg tömegű autó 15 m·s⁻¹ sebességgel halad egy 50 m sugarú sík kanyarban. a_c=4,5 m·s⁻², ezért a szükséges befelé mutató erő 5,4×10³ N. Sík úton ezt a tapadási súrlódás biztosítja; μ_s maximális tapadási együttható mellett közelítőleg v≤√(μ_sgr).

Döntött kanyar

tan θ = v²/(rg)

Ideális döntött kanyarban a nyomóerő vízszintes komponense adja a szükséges befelé mutató eredőt.

A döntés miatt a nyomóerőnek befelé mutató vízszintes komponense van. Súrlódást nem igénylő tervezési sebességnél tanθ=v²/(rg). Ez erőegyensúlyból következik, nem általános sebességhatár.

Függőleges kör és változó sebesség

Függőleges körön a középpont felé mutató irány a pálya mentén változik, miközben a gravitáció mindig lefelé mutat. Emiatt a radiális egyenletet külön kell felírni a felső, oldalsó és alsó helyzetre.

Felül a gravitáció segítheti a befelé mutató eredőt; alul a gravitáció kifelé mutat a középponthoz képest, miközben a nyomó- vagy feszítőerő befelé. A szükséges radiális eredő továbbra is mv²/r. Változó sebességnél a teljes gyorsulás a_r=v²/r és a_t=dv/dt vektori összege.

Feladatok

Forgó korong

Egy pont 0,40 m-re van a tengelytől, a korong szögsebessége 3,0 rad·s⁻¹. Határozza meg a sebességet és a centripetális gyorsulást.

Megoldás

v=rω=1,2 m·s⁻¹; a_c=rω²=3,6 m·s⁻².

Kétszeres sebesség

Egy autó ugyanazt a kanyart kétszeres sebességgel veszi be. Hogyan változik a szükséges befelé mutató erő?

Megoldás

Rögzített m és r mellett F∝v², tehát az erő négyszeresére nő.

Erőábra

Egy műhold közel körpályán mozog. Kell külön „centripetális erő” nyilat rajzolni?

Megoldás

Nem. A valódi erőt, a gravitációt kell feltüntetni. Ennek befelé mutató eredője hozza létre a centripetális gyorsulást.