Kruhový pohyb

Kruhový pohyb je predovšetkým vektorový problém. Aj pri stálej veľkosti rýchlosti sa jej smer neustále mení, takže teleso má zrýchlenie. Rozhodujúca otázka je, ktorá skutočná sila alebo výslednica síl poskytuje potrebné zrýchlenie smerom do stredu.

Aj pri stálej veľkosti rýchlosti sa mení jej smer, preto existuje zrýchlenie smerujúce do stredu.

Uhlové a lineárne veličiny

Na kružnici s polomerom r platí pre uhol θ v radiánoch s=rθ. Uhlová rýchlosť je ω=dθ/dt a uhlové zrýchlenie α=dω/dt. Uhlové veličiny opisujú rotáciu, zatiaľ čo v a a opisujú pohyb konkrétneho bodu po dráhe.

Rovnomerný kruhový pohyb

Pri rovnomernom kruhovom pohybe platí v=rω. ω aj veľkosť v môžu byť konštantné, no vektor rýchlosti neustále mení smer.

Keď sa mení veľkosť rýchlosti

Dotyčnicová zložka zrýchlenia a_t=rα=dv/dt mení veľkosť rýchlosti. Radiálna zložka mení jej smer. Pri nerovnomernom pohybe môžu pôsobiť obe zložky súčasne.

Dostredivé zrýchlenie

a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T²

Zakryvená dráha vyžaduje zrýchlenie smerom do stredu krivosti: a_c=v²/r=rω²=4π²r/T². Pri rovnomernom pohybe je kolmé na okamžitú rýchlosť, takže mení smer, nie jej veľkosť. Závislosť od v² znamená, že dvojnásobná rýchlosť pri rovnakom polomere vyžaduje štvornásobné dostredivé zrýchlenie.

Výpočet dostredivého zrýchlenia

rýchlosť v (m·s⁻¹) polomer r (m)

Skutočné sily vytvárajú výslednicu do stredu

Druhý Newtonov zákon v radiálnom smere dáva F_{dovnútra,výs}=ma_c=mv²/r. „Dostredivá sila“ nie je nový druh sily; je to názov úlohy, ktorú plní výslednica skutočných síl v smere do stredu. Do silového diagramu teda kreslíme tiaž, normálovú silu, trenie alebo ťah a z nich zostavíme radiálnu rovnicu.

Družica

Gravitácia môže tvoriť celú výslednú silu smerujúcu do stredu obežnej dráhy.

Auto na vodorovnej ceste

Statické trenie medzi pneumatikami a vozovkou môže poskytovať silu do stredu.

Guľôčka na šnúrke

Ťah šnúrky môže poskytovať potrebnú radiálnu zložku sily.

Príklad: auto na vodorovnej zákrute

Auto s hmotnosťou 1200 kg prechádza vodorovnou zákrutou s polomerom 50 m rýchlosťou 15 m·s⁻¹. a_c=15²/50=4,5 m·s⁻² a potrebná sila do stredu je F=1200×4,5=5,4×10³ N. Na vodorovnej vozovke ju zvyčajne zabezpečuje statické trenie. Pri koeficiente statického trenia μ_s dáva jednoduchý model hranicu v≤√(μ_sgr).

Klopená zákruta

tan θ = v²/(rg)

Na klopenej zákrute má normálová sila vodorovnú zložku, ktorá môže zabezpečiť potrebné zrýchlenie do stredu.

Na klopenej zákrute má normálová sila vodorovnú zložku smerujúcu do stredu. Pre ideálnu návrhovú rýchlosť bez trenia vyjde tanθ=v²/(rg). Nie je to univerzálny vzorec na maximálnu bezpečnú rýchlosť; v reálnom svete rozhodujú aj pneumatiky, povrch a dynamika vozidla.

Zvislá kružnica a meniaca sa rýchlosť

Pri pohybe po zvislej kružnici sa smer „do stredu“ mení s polohou, zatiaľ čo tiaž smeruje stále nadol. Radiálnu rovnicu preto píšeme osobitne hore, na boku a dole. Hore môže tiaž pomáhať vytvárať výslednicu do stredu; dole pôsobí od stredu a ťah alebo normálová sila musí byť väčšia. V každom bode je požadovaná radiálna výslednica mv²/r. Ak sa mení aj veľkosť rýchlosti, celkové zrýchlenie je vektorový súčet a_r=v²/r a a_t=dv/dt.

Úlohy

1. Otočná plošina

Bod je 0,40 m od osi a plošina sa rovnomerne otáča s ω=3,0 rad·s⁻¹. Určte rýchlosť a dostredivé zrýchlenie.

Riešenie

v=rω=1,2 m·s⁻¹; a_c=rω²=3,6 m·s⁻².

2. Dvojnásobná rýchlosť

To isté auto prechádza tou istou zákrutou dvojnásobnou rýchlosťou. Ako sa zmení potrebná sila do stredu?

Riešenie

Pri konštantných m a r platí F∝v², preto bude potrebná sila štyrikrát väčšia.

3. Silový diagram družice

Má sa k družici na takmer kruhovej dráhe dokresliť osobitná šípka „dostredivej sily“?

Riešenie

Nie. Kreslia sa skutočné sily, tu najmä gravitácia. Jej výslednica do stredu spôsobuje dostredivé zrýchlenie.