Cirkelbeweging
Cirkelbeweging is eerst een vectorprobleem en pas daarna een formuleprobleem. Een voorwerp kan dezelfde snelheidsgrootte houden en toch versnellen omdat de richting van de snelheidsvector voortdurend verandert. De kernvraag is welke echte kracht of combinatie van krachten de vereiste naar binnen gerichte versnelling levert.
Hoek- en lineaire beschrijving
Voor een cirkel met straal r geldt s=rθ wanneer θ in radialen staat. De hoekvariabelen zijn ω=dθ/dt en α=dω/dt. Bij eenparige cirkelbeweging is v=rω; bij veranderende snelheid is at=rα=dv/dt.
Eenparige cirkelbeweging
v=rω
Veranderende snelheid
at=rα=dv/dt
Centripetale versnelling
De naar binnen gerichte versnelling is ac=v²/r=rω²=4π²r/T². Ze staat bij eenparige cirkelbeweging loodrecht op v. Verdubbelen van de snelheid bij vaste r maakt ac vier keer zo groot.
Echte krachten leveren de naar binnen gerichte nettokracht
Volgens Newton is Fin,net=mv²/r. “Centripetale kracht” is de naam van de naar binnen gerichte rol van de nettokracht, niet van een extra fundamentele kracht. Voor een satelliet levert zwaartekracht die rol, voor een auto kan statische wrijving dat doen, en voor een massa aan een koord kan spanning de rol leveren.
Satelliet
Zwaartekracht levert de kracht naar binnen.
Auto op een vlakke weg
Statische wrijving kan de kracht leveren.
Massa aan een koord
Spankracht kan de kracht leveren.
Uitgewerkt voorbeeld: auto in een vlakke bocht
Een auto van 1200 kg rijdt met 15 m s⁻¹ door een vlakke bocht van 50 m. Dan is ac=15²/50=4,5 m s⁻² en Fin=1200×4,5=5,4×10³ N. Op een vlakke weg moet statische wrijving dit leveren; een eenvoudige grens is v≤√(μsgr).
Verkanting van bochten
Bij een verkante bocht heeft de normaalkracht een horizontale component naar het middelpunt. Voor de ideale ontwerpsnelheid zonder benodigde wrijving geldt tanθ=v²/(rg). Dit is een krachtenbalans, geen universele snelheidslimiet.
Verticale cirkels en veranderende snelheid
In een verticale cirkel verandert de richting naar het middelpunt langs de baan terwijl de zwaartekracht altijd omlaag wijst. De radiale vergelijking verschilt dus boven, onder en aan de zijkant. Bij veranderende snelheid zijn er radiale en tangentiële componenten: ar=v²/r en at=dv/dt.
Het onderscheid tussen snelheid als vector en snelheidsgrootte is cruciaal. Een snelheidsmeter kan constant blijven terwijl de vector v draait. Omdat versnelling de verandering van de volledige vector v meet, hoort bij een gekromde baan dus versnelling zonder dat de snelheidsgrootte hoeft te veranderen.
Bij een krachtenprobleem is het veiliger eerst een radiale richting te kiezen en alle echte krachten daarop te projecteren. Daarna wordt de radiale som gelijkgesteld aan mv²/r. Een extra pijl “centripetale kracht” naast zwaartekracht, wrijving of spanning telt dezelfde fysica vaak dubbel.
Bij niet-eenparige cirkelbeweging heeft de versnelling twee loodrechte rollen: ar buigt de snelheidsvector om en at verandert de snelheidsgrootte. De totale grootte is √(ar²+at²). Dit is relevant voor een voertuig dat tegelijk remt en een bocht neemt.
Oefeningen
Draaiend platform
Een punt ligt 0,40 m van de as en ω=3,0 rad s⁻¹. Vind v en ac.
Oplossing
v=1,2 m s⁻¹ en ac=3,6 m s⁻².
Snelheid verdubbeld
Hoe verandert de benodigde naar binnen gerichte kracht bij dezelfde m en r?
Oplossing
Omdat F∝v² wordt de kracht vier keer zo groot.
Vrij-lichaamdiagram
Moet bij een satelliet een aparte pijl “centripetale kracht” worden getekend?
Oplossing
Nee. Teken de echte kracht, zwaartekracht; haar naar binnen gerichte resultante veroorzaakt de centripetale versnelling.