Ruch po okręgu

Opis kątowy i liniowy

Długość łuku wiąże się z kątem w radianach przez s = rθ. Prędkość kątowa to ω = dθ/dt, a przyspieszenie kątowe α = dω/dt. Dla punktu w odległości r od osi v = rω.

Radian jest naturalną jednostką w tych równaniach. Dwa punkty sztywnego koła mają tę samą ω, lecz punkt dalej od osi ma większą prędkość liniową v.

Przyspieszenie dośrodkowe

W jednostajnym ruchu po okręgu zmienia się kierunek prędkości, dlatego występuje a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T². Wektor a_c jest zawsze skierowany do środka krzywizny.

Gdy zmienia się także wartość prędkości, pojawia się składowa styczna a_t = rα = dv/dt. Składowa promieniowa zmienia kierunek ruchu, a styczna — szybkość.

Nie istnieje dodatkowa „siła dośrodkowa”

Równanie ΣF_r = mv²/r mówi o wypadkowej rzeczywistych sił w kierunku środka. Rolę tę może pełnić naprężenie, tarcie, grawitacja, nacisk lub kombinacja kilku sił.

W diagramie sił nie należy dopisywać osobnej strzałki „siła dośrodkowa”, jeśli jej źródłem ma być już narysowane naprężenie lub tarcie. Najpierw rysujemy realne oddziaływania, potem sumujemy ich składowe promieniowe.

Zakręt i przechylenie drogi

Na płaskim zakręcie statyczne tarcie między oponami a nawierzchnią może zapewniać siłę skierowaną do środka. Jeśli wymagane mv²/r przekroczy maksymalne tarcie, pojazd nie utrzyma zadanej krzywizny.

Na idealnie przechylonym zakręcie bez tarcia składowa siły normalnej może sama zapewnić ruch kołowy. Z geometrii sił wynika tan θ = v²/(rg).

Pionowa pętla

W pionowym okręgu kierunek „do środka” zmienia się względem grawitacji. Na górze ciężar może pomagać w zapewnieniu siły promieniowej, na dole działa przeciwnie do części siły normalnej lub naprężenia.

Dlatego nie wolno używać jednego znaku dla mg w całej pętli. W każdym punkcie wybieramy oś promieniową do środka i zapisujemy sumę składowych sił w tej osi.

Układ inercjalny i odczucie „wyrzucania” na zewnątrz

W układzie inercjalnym ciało chce zachować ruch styczny, a siła skierowana do środka zakrzywia tor. Odczucie ruchu na zewnątrz w samochodzie wynika z bezwładności i kontaktu z siedzeniem lub drzwiami.

W obracającym się, nieinercjalnym układzie odniesienia można wprowadzić siłę odśrodkową jako siłę pozorną. Nie należy jednak mieszać tego opisu z diagramem sił w układzie inercjalnym.

Kontrola wyniku

Przy tej samej prędkości mniejszy promień wymaga większego a_c, bo a_c ∝ 1/r. Przy tym samym promieniu podwojenie v zwiększa a_c czterokrotnie.

Zawsze sprawdź, czy używasz prędkości liniowej v czy kątowej ω i czy promień odpowiada torowi rozpatrywanego punktu. To eliminuje najczęstsze błędy jednostek i geometrii.

Przykłady rozwiązane

1. Samochód: 20 m/s, promień 50 m

2. Podwojenie prędkości

3. Idealnie przechylony zakręt