원운동

각운동과 선운동의 표현

반지름 r인 원에서 θ를 라디안으로 쓰면 호의 길이는 s = rθ입니다. 각속도는 ω = dθ/dt, 각가속도는 α = dω/dt입니다.

등속 원운동

등속 원운동에서는 v = rω이고 ω와 속력은 일정하지만 속도 방향은 계속 변합니다.

속력이 변할 때

접선가속도는 a_t = rα = dv/dt로 속력의 크기를 바꾸며, 반지름 방향 가속도는 속도의 방향을 바꿉니다.

구심가속도

궤적을 휘게 하는 안쪽 가속도는 a_c = v²/r = rω² = 4π²r/T²이며 곡률 중심을 향합니다. 등속 원운동에서는 v와 수직이므로 속력은 그대로 두고 방향만 바꿉니다. 같은 반지름에서 속력을 두 배로 하면 필요한 구심가속도는 네 배입니다.

실제 힘이 안쪽 합력을 만든다

뉴턴 제2법칙에 따라 F_안쪽,합 = ma_c = mv²/r입니다. “구심력”은 별도의 기본 힘 이름이 아니라 합력의 안쪽 역할을 가리킵니다. 자유물체도에는 중력, 수직항력, 마찰력, 장력 같은 실제 힘을 그려야 합니다.

예제: 평평한 곡선 도로의 자동차

질량 1200 kg인 자동차가 반지름 50 m의 평평한 곡선을 15 m·s⁻¹로 달리면 a_c = 4.5 m·s⁻², 필요한 안쪽 합력은 5.4 × 10³ N입니다. 평평한 도로에서는 정지 마찰력이 이 힘을 담당합니다. 최대 정지 마찰계수가 μ_s라면 미끄러지지 않을 대략의 조건은 v ≤ √(μ_sgr)입니다.

뱅크가 있는 곡선

도로를 기울이면 수직항력에 안쪽 수평 성분이 생깁니다. 마찰이 필요 없는 이상적인 설계 속도에서는 tan θ = v²/(rg)입니다. 그러나 실제 안전 속도는 타이어, 노면, 차량 동역학 등의 영향을 받으므로 이 식이 보편적인 속도 제한은 아닙니다.

수직 원운동과 속력 변화

수직 원운동에서는 안쪽 방향이 위치마다 바뀌지만 중력은 항상 아래쪽입니다. 따라서 꼭대기, 옆, 바닥에서 반지름 방향 식을 각각 써야 합니다. 꼭대기에서는 중력이 안쪽 힘을 돕고, 바닥에서는 중력이 중심 반대 방향이 될 수 있습니다. 필요한 순수한 반지름 방향 합력은 여전히 mv²/r입니다. 속력이 변하면 a_r = v²/r와 a_t = dv/dt를 벡터로 합해야 합니다.

연습 문제

회전 원판

회전축에서 0.40 m 떨어진 점이 3.0 rad·s⁻¹로 회전합니다. 속력과 구심가속도를 구하세요.

속력을 두 배로

같은 자동차가 같은 곡선을 두 배의 속력으로 달리면 필요한 안쪽 합력은 어떻게 됩니까?

자유물체도

거의 원궤도로 도는 위성에 중력과 별도로 “구심력” 화살표를 그려야 할까요?