Cirkelrörelse

Cirkelrörelse är först ett vektorproblem och sedan ett formelproblem. Ett föremål kan behålla samma fart och ändå accelerera eftersom hastighetsvektorns riktning hela tiden ändras. Den centrala frågan är vilken verklig kraft eller kombination av krafter som ger accelerationen in mot centrum.

v är tangent; centripetalaccelerationen pekar inåt

Vinkel- och linjär beskrivning

För en cirkel med radie r gäller s=rθ när θ mäts i radianer. ω=dθ/dt och α=dω/dt. Vid likformig cirkelrörelse är v=rω; när farten ändras är a_t=rα=dv/dt.

Likformig cirkelrörelse

v=rω

Varierande fart

a_t=rα=dv/dt

Centripetalacceleration

Accelerationen in mot centrum är a_c=v²/r=rω²=4π²r/T². Vid likformig cirkelrörelse är den vinkelrät mot v. Fördubblad fart vid samma radie kräver fyra gånger större a_c.

Verkliga krafter ger nettokraften inåt

Newtons andra lag ger F_inåt,net=mv²/r. “Centripetalkraft” är namnet på nettokraftens inåtriktade roll, inte en extra naturkraft. Gravitation, statisk friktion eller spänning kan ge den.

Satellit

Gravitationen ger kraften inåt.

Bil på plan väg

Statisk friktion kan ge kraften.

Massa i ett snöre

Snörspänningen kan ge kraften.

Exempel: bil i en plan kurva

En bil på 1200 kg kör 15 m s⁻¹ i en plan kurva med radien 50 m. a_c=4,5 m s⁻² och F_in=5,4×10³ N. På plan väg måste statisk friktion ge denna kraft; en enkel gräns är v≤√(μ_sgr).

Doserade kurvor

I en doserad kurva lutar normalkraften så att den får en horisontell komponent mot centrum. För en ideal designfart utan friktion gäller tanθ=v²/(rg). Det är ett kraftbalansresultat, inte en universell fartgräns.

Doserade kurvor

Vertikala cirklar och varierande fart

I en vertikal cirkel ändras riktningen mot centrum längs banan medan tyngdkraften alltid pekar nedåt. Den radiella ekvationen måste därför skrivas för aktuell position. Om farten ändras finns både a_r=v²/r och a_t=dv/dt.

Skillnaden mellan fart och hastighetsvektor är avgörande. En hastighetsmätare kan visa samma tal medan vektorn v vrids. Eftersom acceleration är ändringen av hela hastighetsvektorn per tidsenhet innebär en krökt bana acceleration även när farten är konstant.

I kraftproblem är det säkrast att först välja radiell riktning och projicera de verkliga krafterna på den. Därefter sätts den radiella summan lika med mv²/r. En extra “centripetalkraft” utöver gravitation, friktion eller spänning räknar ofta samma fysik två gånger.

Vid icke-likformig cirkelrörelse har a_r och a_t olika roller: den radiella komponenten vrider hastighetsvektorn och den tangentiella ändrar farten. De är vinkelräta, så totalstorleken är √(a_r²+a_t²).

Med ω=2π/T kan centripetalaccelerationen också skrivas a_c=4π²r/T². Vid samma radie kräver alltså kortare omloppstid större acceleration inåt. Formen är särskilt praktisk när rotationen anges med period i stället för tangentiell hastighet.

Övningar

Roterande plattform

En punkt ligger 0,40 m från axeln och ω=3,0 rad s⁻¹.

Lösning

v=1,2 m s⁻¹, a_c=3,6 m s⁻².

Farten fördubblas

Hur ändras den nödvändiga inåtriktade kraften?

Lösning

Den blir fyra gånger större.

Frikroppsdiagram

Ska en satellit ha en separat pil för centripetalkraft?

Lösning

Nej. Rita gravitationen; dess inåtriktade resultant ger centripetalaccelerationen.