Moto circolare
Il moto circolare è anzitutto un problema vettoriale e solo dopo un problema di formule. Un oggetto può mantenere costante il modulo della velocità e accelerare comunque, perché il vettore velocità cambia continuamente direzione. La domanda centrale è quindi: quale forza reale, o combinazione di forze, produce l’accelerazione necessaria verso il centro?
Descrizioni angolare e lineare
Per il moto su una circonferenza di raggio r, lunghezza dell’arco e posizione angolare soddisfano s = rθ quando θ è espresso in radianti. Le grandezze angolari sono ω = dθ/dt e α = dω/dt.
Moto circolare uniforme
v = rω
ω e il modulo della velocità sono costanti, ma la direzione della velocità cambia.
Velocità variabile
at = rα = dv/dt
L’accelerazione tangenziale modifica il modulo della velocità.
Accelerazione centripeta
L’accelerazione diretta verso il centro necessaria a curvare la traiettoria ha modulo:
ac = v²/r = rω² = 4π²r/T²
Punta verso il centro di curvatura. Nel moto circolare uniforme è perpendicolare a v, quindi cambia la direzione senza modificare il modulo della velocità.
Il quadrato è essenziale: a raggio fissato, raddoppiare la velocità richiede un’accelerazione verso il centro quattro volte maggiore.
Le forze reali forniscono la forza risultante verso il centro
La seconda legge di Newton dà Fverso il centro, risultante = mac = mv²/r . “Forza centripeta” indica il ruolo verso il centro della forza risultante; non è una forza fondamentale aggiuntiva.
Satellite
La gravità fornisce la forza verso il centro.
Auto su strada orizzontale
L’attrito statico può fornire la forza verso il centro.
Massa legata a una corda
La tensione della corda può fornire la forza verso il centro.
Esempio svolto: auto in una curva piana
Un’auto di 1200 kg percorre a 15 m·s⁻¹ una curva orizzontale di raggio 50 m.
ac = 15²/50 = 4,5 m s⁻²
Fverso il centro = 1200 × 4,5 = 5,4 × 10³ N
Su una strada orizzontale, l’attrito statico deve fornire questa forza. Se μs è il coefficiente massimo di attrito statico, la condizione di non slittamento è approssimativamente v ≤ √(μsgr).
Curve sopraelevate
La sopraelevazione inclina la forza normale in modo che abbia una componente orizzontale verso il centro. Per una velocità di progetto ideale per cui non è necessario attrito:
tan θ = v²/(rg)
È un risultato del bilancio delle forze, non un limite universale di velocità. Pneumatici reali, condizioni della strada e dinamica del veicolo restano importanti.
Circonferenze verticali e velocità variabile
In una circonferenza verticale, la direzione verso il centro cambia lungo il percorso mentre la gravità punta sempre verso il basso. L’equazione radiale deve quindi essere scritta separatamente in alto, di lato e in basso.
In alto, la gravità può contribuire alla forza verso il centro. In basso, la gravità punta lontano dal centro mentre la forza normale o la tensione puntano verso il centro. La forza risultante radiale richiesta resta mv²/r.
Se il modulo della velocità cambia, l’accelerazione totale ha componenti radiale e tangenziale: ar = v²/r e at = dv/dt. La loro somma vettoriale fornisce l’accelerazione effettiva.
Esercizi
Piattaforma rotante
Un punto si trova a 0,40 m dall’asse di una piattaforma che ruota a 3,0 rad·s⁻¹. Calcola il suo modulo della velocità e l’accelerazione centripeta.
Soluzione
v = rω = 1,2 m s⁻¹. ac = rω² = 3,6 m s⁻².
Velocità raddoppiata
Un’auto percorre la stessa curva al doppio della velocità iniziale. Come cambia la forza richiesta verso il centro?
Soluzione
A m e r fissati, F ∝ v², quindi la forza richiesta verso il centro diventa quattro volte maggiore.
Diagramma di corpo libero
Un satellite si muove su un’orbita quasi circolare. Bisogna aggiungere una freccia separata per la forza centripeta?
Soluzione
No. Disegna la forza reale: la gravità. È la sua risultante verso il centro a produrre l’accelerazione centripeta.