衍射

什么时候衍射会明显

几何光学在孔径远大于波长时通常很好用；但当特征尺寸 a 与 λ 接近时，波从孔径出来后会明显向侧面扩展。关键比值是 λ/a：波长越长或孔径越窄，角扩展越大。水波、声波、无线电波和光都遵循同样的波动逻辑，只是尺度不同。 把孔径内每一点都看成次级波的贡献，是理解衍射的更可靠方式。远处某一方向上的场来自这些贡献带着不同相位的总和；有的方向相长，有的方向相消。因此衍射图样是整个孔径的信息，而不是边缘处发生了一次独立的“折弯”。

单缝暗纹的位置

宽度为 a 的理想单缝产生暗纹的条件是 a sinθ = mλ，其中 m = 1, 2, 3…。这些角度给出的是强度最小值，而不是次级亮纹的位置。第一暗纹满足 a sinθ₁ = λ；它是判断中央主极大宽度最直接的边界。 更完整的单缝强度可以写成 I(θ)=I₀(sinβ/β)²，其中 β=πa sinθ/λ。β=mπ 时分子为零，正好得到上述暗纹条件。这个表达式也说明次级极大的强度迅速下降，所以中央峰不仅更宽，也最显眼。

为什么中央主极大不同

中央主极大位于左右第一暗纹之间，因此它的角宽约是单侧第一暗纹角的两倍。远屏且小角度时，第一暗纹位置可写成 y₁ ≈ Lλ/a，所以中央主极大全宽约 2Lλ/a。旁边的亮纹更窄也更弱；这来自整个缝宽上连续波源的相位叠加，而不是只有“两条边”在发波。 若不能使用小角近似，就应先由 sinθ=λ/a 求角度，再用屏幕几何 y=L tanθ。把 sinθ、tanθ 和 θ 直接当成完全相同只在 θ 足够小时成立；开口很窄、衍射很宽时，这个近似尤其需要检查。

衍射与双源干涉不是一回事

单缝衍射和双缝干涉都来自叠加，但物理模型不同。双缝常被近似为两个相干源，条纹间距由两源间距决定；单缝则要把孔径内连续分布的贡献相加。实际双缝图样还会被每个缝自身的单缝衍射包络调制。 二者在真实实验中常同时存在：每条窄缝自身产生衍射包络，两条缝之间又产生更细的干涉条纹。看到“亮暗相间”并不能只靠外观判断机制，必须先确认有多少有效波源、开口宽度和波源间距分别是什么。

孔径大小怎样控制图样

若保持 λ 不变而把 a 减半，λ/a 加倍，图样会显著变宽。若保持 a 不变而改用更长波长，结果相同。反过来，孔径很大时暗纹角变小，中央主极大收窄，几何光学极限逐渐恢复。不要把“更窄的缝让光束更窄”当成一般结论；在波动极限正好相反。 这种反比例关系也是一个有用的量纲检查：Lλ/a 的单位是长度，适合预测屏上的位置。若计算得到的第一暗纹位置与屏距同量级，小角近似往往已经可疑，应回到三角关系而不是继续套 y≈Lθ。

例题

1. 第一暗纹

λ = 500 nm 的光通过 a = 5.0 μm 的单缝。求第一暗纹角。

2. 缝宽减半

在其他条件不变时把单缝宽度减半，中央主极大怎样变化？

3. 屏上的中央峰宽度

λ = 600 nm，a = 0.20 mm，屏距 L = 2.0 m。估算中央主极大全宽。