Estructura cristal·lina

Un cristall no és només un sòlid amb forma regular. Microscòpicament presenta ordre periòdic de llarg abast: una xarxa defineix les translacions repetides i una base o motiu especifica què s’associa a cada punt de la xarxa.

Xarxa, base i cel·la unitat

La xarxa és un conjunt abstracte i periòdic de punts. La base és l’àtom, ió o grup associat a cada punt. La seva combinació és l’estructura cristal·lina. Una cel·la unitat és una elecció geomètrica que es repeteix; no és necessàriament la “molècula més petita” del material.

Xarxa, base i cel·la unitat. La xarxa és un conjunt abstracte i periòdic de punts. La base és l’àtom, ió o grup associat a cada punt. La seva combinació és l’estructura cristal·lina. Una cel·la unitat és una elecció geomètrica que es repeteix; no és necessàriament la “molècula més petita” del material.

Cel·les cúbiques i recompte d’àtoms

Els àtoms situats a les fronteres de la cel·la es comparteixen amb cel·les veïnes. Una cel·la cúbica simple té Z=1, una cúbica centrada al cos (BCC) Z=2 i una cúbica centrada a les cares (FCC) Z=4. Aquest recompte és essencial per relacionar una cel·la amb la massa i la densitat macroscòpiques.

Cel·les cúbiques i recompte d’àtoms. Els àtoms situats a les fronteres de la cel·la es comparteixen amb cel·les veïnes. Una cel·la cúbica simple té Z=1, una cúbica centrada al cos (BCC) Z=2 i una cúbica centrada a les cares (FCC) Z=4. Aquest recompte és essencial per relacionar una cel·la amb la massa i la densitat macroscòpiques.

Coordinació i empaquetament

L’estructura determina quants veïns més propers envolten cada àtom i amb quina eficiència s’omple l’espai. BCC té nombre de coordinació 8; FCC, 12. L’empaquetament compacte no determina per si sol totes les propietats, però influeix en densitat, mecanismes de lliscament i comportament mecànic.

Densitat a partir de la cel·la unitat

Per a una cel·la amb Z unitats de fórmula i volum V_cel·la, ρ = ZM/(N_AV_cel·la). Cal ser coherent amb les unitats: si la constant de xarxa a s’expressa en centímetres, una cel·la cúbica té V=a³ en cm³.

La difracció revela l’espaiat periòdic

Els plans cristal·lins dispersen raigs X. La interferència constructiva compleix la condició de Bragg nλ = 2d sin θ. Els angles mesurats codifiquen distàncies interplanàries, mentre que les intensitats contenen informació sobre la posició dels àtoms dins la cel·la. Un patró de difracció no és una fotografia d’àtoms: l’estructura s’infereix d’una mesura en espai recíproc i d’un model.

Exemples resolts

1. Àtoms en una cel·la FCC

Solució

Els 8 vèrtexs aporten 8×1/8=1 i les 6 cares 6×1/2=3; per tant Z=4.

2. Densitat del coure

Solució

Amb Z=4, M=63,546 g mol⁻¹ i a=361,5 pm=3,615×10⁻8 cm, la fórmula de densitat dona aproximadament 8,9 g cm⁻³.

3. Angle de Bragg de primer ordre

Solució

Per λ=0,154 nm i d=0,200 nm, sinθ=λ/(2d)=0,385, de manera que θ≈22,6°.