Superposition
Au même point et au même instant, on additionne les déplacements : y = y₁ + y₂.
Ondes · superposition · phase
Interférences
Deux ondes peuvent se renforcer, s’atténuer ou, dans certaines conditions, se compenser. Pour comprendre ce phénomène, il faut distinguer trois idées : la superposition, le déphasage et la différence de marche. Ces trois notions permettent ensuite de comprendre les franges d’interférence, notamment dans l’expérience des fentes de Young.
φ · déphasageδ · différence de marcheλ · longueur d’onde
L’idée essentielle
Les déplacements s’additionnent, pas les « effets » au hasard.
Lorsque deux ondes se rencontrent dans un milieu où le principe de superposition est valable, le déplacement observé est la somme algébrique des déplacements que chacune produirait séparément. Une crête rencontrant une crête donne donc un déplacement plus grand ; une crête rencontrant un creux peut au contraire réduire le déplacement résultant.
Pour deux ondes sinusoïdales de même fréquence, le déphasage φ indique leur décalage dans le cycle. À φ = 0°, elles évoluent en phase. À φ = 180° = π rad, elles sont en opposition de phase. Entre ces deux situations, le renforcement ou l’atténuation est partiel.
Déphasage
Il mesure où se situe une onde dans son cycle par rapport à l’autre. Un tour complet correspond à 2π rad = 360°.
Différence de marche
Si les deux ondes parcourent des chemins différents, ce décalage de trajet peut produire un déphasage.
Le modèle mathématique
Que donne réellement la somme de deux sinusoïdes ?
Au même point, écrivons y₁ = A sin(ωt) et y₂ = rA sin(ωt + φ). Le nombre r compare l’amplitude de la seconde onde à celle de la première. Puisque les deux sinusoïdes ont la même fréquence, leur somme est encore une sinusoïde de même fréquence, mais avec une amplitude et une phase différentes.
Amplitude résultanteR = A√(1 + r² + 2r cos φ)
Si r = 1R = 2A |cos(φ/2)|
À φ = 0°, les deux contributions se renforcent au maximum et l’amplitude vaut A(1 + r). À φ = 180°, l’amplitude minimale vaut A|1 − r|. Une annulation totale n’est donc possible que si les deux amplitudes sont égales : r = 1.
Mini-laboratoire
Faites varier le déphasage — la somme est calculée point par point.
Les trois courbes sont calculées à partir des équations du cours : la première représente y₁, la deuxième y₂ et la troisième leur somme y₁ + y₂. Faites varier le déphasage et l’amplitude relative de la seconde onde. Les trois tracés utilisent la même échelle verticale, afin que la comparaison des amplitudes reste fidèle.
δ / λ équivalent*0
Amplitude résultante2,00 A
Effetmaximum constructif
Maximum constructifLes deux ondes sont en phase : leurs amplitudes s’ajoutent autant que possible.
Renforcement / atténuation partielsLe déphasage est intermédiaire : la somme est plus grande ou plus petite que dans le cas sans terme d’interférence.
MinimumÀ 180°, les ondes sont en opposition de phase. Si leurs amplitudes sont égales, la somme peut s’annuler complètement.
Comment lire le graphique : comparez d’abord les deux courbes du haut, puis observez leur somme en violet. Lorsque les crêtes coïncident, la résultante grandit ; lorsqu’une crête rencontre un creux, elle diminue.
* Conversion φ = 2πδ/λ valable ici pour deux ondes de même fréquence lorsque le déphasage provient uniquement de la différence de trajet et qu’aucun déphasage supplémentaire n’est introduit à la source ou par une réflexion.
De la géométrie à la phase
Différence de marche et différence de phase
Supposons que deux ondes cohérentes soient émises en phase et parcourent des distances différentes avant d’atteindre un point M. Si leurs trajets valent r₁ et r₂, la différence de marche est δ = r₂ − r₁. Le trajet supplémentaire se traduit alors par un déphasage.
φ = 2π δ / λ
Un trajet supplémentaire égal à une longueur d’onde correspond à un tour complet de phase : φ = 2π. Les deux ondes se retrouvent donc en phase. Un trajet supplémentaire de λ/2 correspond à φ = π : elles arrivent en opposition de phase.
Renforcement maximal
δ = mλm entier. Les ondes arrivent en phase.
Atténuation maximale
δ = (m + 1/2)λPour des amplitudes égales, l’annulation est totale.
Exemple 1 · raisonner avant de calculer
λ = 0,60 m et δ = 1,20 m : que faut-il prévoir ?
Avant le calcul : 1,20 m représente exactement deux longueurs d’onde de 0,60 m. On s’attend donc à retrouver le même état de phase après deux cycles complets.
Calcul : δ/λ = 1,20 / 0,60 = 2. C’est un entier : δ = 2λ.
Conclusion : l’interférence est au maximum constructif pour deux sources initialement en phase.
Variante : avec δ = 0,90 m, δ/λ = 1,5 = 1 + 1/2. Les ondes arrivent en opposition de phase : l’atténuation est maximale.
Amplitude ≠ intensité
Pourquoi une frange brillante peut-elle être quatre fois plus intense ?
Pour deux ondes lumineuses cohérentes d’intensités I₁ et I₂, l’intensité résultante dépend du déphasage. Le terme en cos φ traduit précisément l’interférence entre les deux contributions.
I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos φ
Si I₁ = I₂ = I₀, alors I = 4I₀ cos²(φ/2). Au maximum constructif, l’amplitude du champ est doublée et l’intensité atteint 4I₀, car l’intensité est proportionnelle au carré de l’amplitude. Au minimum, l’intensité peut devenir nulle lorsque les deux contributions ont même amplitude.
Fentes de Young
Transformer une différence de trajet en franges visibles
Dans l’expérience de Young, une même onde éclaire deux fentes étroites. Les deux fentes deviennent alors deux sources secondaires cohérentes. Sur l’écran, les ondes issues des deux ouvertures se superposent et forment une succession de franges claires et sombres.
Pour un écran éloigné et de petits angles, la géométrie conduit à δ ≈ a sin θ ≈ ax/D, où a est l’écartement des fentes, D la distance entre les fentes et l’écran, et x la position du point observé sur l’écran.
Dans le schéma, S désigne la source lumineuse qui éclaire les deux fentes. Les deux ouvertures de la paroi deviennent les sources secondaires. M est un point choisi sur l’écran : c’est à cet endroit que l’on compare les deux trajets et que l’on détermine si la lumière est renforcée ou atténuée.
Ssource lumineuse initiale
adistance entre les deux fentes
Ddistance entre les fentes et l’écran
M / xM est le point observé ; x repère sa position sur l’écran
S
M
a
D
Distance entre deux franges brillantes successivesi = λD / a
Attention : cette expression de l’interfrange utilise l’approximation des petits angles et suppose D grand devant l’écartement des fentes.
Exemple 2 · fentes de Young
Quelle distance sépare deux franges brillantes ?
On utilise une lumière de longueur d’onde λ = 600 nm, deux fentes séparées de a = 0,30 mm, et un écran situé à D = 2,0 m.
Convertissons d’abord les unités : λ = 6,00 × 10⁻⁷ m et a = 3,0 × 10⁻⁴ m.
i = λD/a = (6,00 × 10⁻⁷ × 2,0)/(3,0 × 10⁻⁴) = 4,0 × 10⁻³ m
Donc i = 4,0 mm. Les maxima brillants successifs sont espacés d’environ quatre millimètres.
Contrôle : si l’on augmente D, les franges doivent s’écarter ; si l’on rapproche les fentes en diminuant a, elles doivent également s’écarter. La formule retrouve bien ces deux tendances.
Mise en pratique
À vous : deux exercices courts
Constructive ou destructive ?
Deux ondes de longueur d’onde λ = 4,0 cm arrivent avec une différence de marche δ = 10,0 cm. Déterminez le type d’interférence maximale.
Voir la correction
δ/λ = 10,0/4,0 = 2,5 = 2 + 1/2. La condition δ = (m + 1/2)λ est satisfaite : l’atténuation est maximale. Avec des amplitudes égales, l’annulation est totale.
Calculer un interfrange
λ = 500 nm, D = 1,50 m et a = 0,25 mm. Calculez i.
Voir la correction
λ = 5,00 × 10⁻⁷ m et a = 2,5 × 10⁻⁴ m. i = λD/a = 3,0 × 10⁻³ m, soit 3,0 mm.
Ce qu’il faut savoir distinguer
Superposition décrit l’addition instantanée des ondes. Interférence décrit le motif de renforcement et d’atténuation qui en résulte. Cohérence signifie que la relation de phase reste suffisamment stable pour que ce motif soit observable.
Aller un peu plus loin
Les conditions δ = mλ et δ = (m + 1/2)λ ne sont pas universelles sans précaution.
Les relations δ = mλ et δ = (m + 1/2)λ sont immédiates lorsque les deux sources partent en phase et qu’aucun autre déphasage n’est introduit. Une réflexion ou le passage dans certains milieux peut ajouter un déphasage : il faut alors le prendre en compte séparément.
Si les fréquences sont différentes ou si la relation de phase varie rapidement, les maxima et minima ne restent plus fixes. La figure d’interférences simple se déplace ou se moyenne et devient moins contrastée.
Le phénomène d’interférence appartient à l’étude générale des ondes. Pour replacer ce cours dans l’ensemble du site, vous pouvez revenir au tableau périodique ou poursuivre avec les cours consacrés aux ondes, à la diffraction et à la longueur d’onde et à la fréquence.