Sovrapposizione
Nello stesso luogo e nello stesso istante, somma le grandezze d’onda: y = y₁ + y₂.
Onde · sovrapposizione · fase
Interferenza
Quando due onde si sovrappongono, i loro spostamenti o campi si sommano per sovrapposizione. In base alla loro fase relativa, il risultato può essere un rinforzo, una cancellazione parziale o — se le ampiezze coincidono — una cancellazione completa in un punto. Una differenza nelle distanze percorse crea una differenza di cammino, che spesso trasforma la geometria in un motivo osservabile di zone chiare e scure, suoni forti e deboli oppure oscillazioni grandi e piccole.
φ · differenza di faseδ · differenza di camminoλ · lunghezza d’onda
L’idea essenziale
Somma prima le onde, non i loro «effetti» a intuito
In un sistema lineare in cui vale la sovrapposizione, lo spostamento osservato in un dato luogo e istante è la somma algebrica degli spostamenti che ciascuna onda produrrebbe separatamente. Cresta più cresta dà uno spostamento maggiore. Una cresta che incontra un ventre riduce la risultante.
Per onde sinusoidali della stessa frequenza, la differenza di fase φ indica in quale punto del ciclo si trova un’oscillazione rispetto all’altra. A φ = 0° sono in fase. A φ = 180° = π rad sono in opposizione. Differenze di fase intermedie producono rinforzi o cancellazioni intermedi.
Differenza di fase
Misura lo sfasamento all’interno del ciclo. Un ciclo completo equivale a 2π rad = 360°.
Differenza di cammino
Se due onde coerenti percorrono distanze diverse, il cammino aggiuntivo può creare uno sfasamento.
Il modello matematico
Che cosa si ottiene davvero sommando due sinusoidi?
In un punto, scrivi y₁ = A sin(ωt) e y₂ = rA sin(ωt + φ). Il fattore r è l’ampiezza della seconda onda rispetto alla prima. Poiché le due onde hanno la stessa frequenza, la loro somma è un’altra sinusoide con la stessa frequenza, ma con una nuova ampiezza e una nuova fase.
Ampiezza risultanteR = A√(1 + r² + 2r cos φ)
Se r = 1R = 2A |cos(φ/2)|
A φ = 0° le onde si rinforzano al massimo e l’ampiezza è A(1 + r). A φ = 180° l’ampiezza minima è A|1 − r|. Cancellazione completa è quindi possibile solo quando le due ampiezze sono uguali.
Mini laboratorio
Cambia la fase e osserva la somma aggiornarsi punto per punto
Le tre curve derivano direttamente dalle equazioni precedenti: y₁, y₂ e la loro somma y₁ + y₂. Cambia la differenza di fase e l’ampiezza relativa della seconda onda. Tutti e tre i grafici usano la stessa scala verticale, così il confronto tra le ampiezze resta significativo.
δ / λ equivalente*0
Ampiezza risultante2,00 A
Effettomassimo costruttivo
Massimo costruttivoLe onde sono in fase, quindi le loro ampiezze si sommano al massimo.
Rinforzo / cancellazione parzialeUna fase intermedia dà una risultante compresa tra i due casi limite.
MinimoA 180° le onde sono in opposizione. Ampiezze uguali possono cancellarsi completamente.
Come leggere il grafico: confronta prima le due onde superiori, poi osserva la risultante sotto. Creste coincidenti rendono la risultante più grande; una cresta di fronte a un ventre la rende più piccola.
* La relazione φ = 2πδ/λ vale qui quando la differenza di fase deriva solo da una differenza di cammino tra onde della stessa frequenza, senza ulteriori sfasamenti dovuti alla sorgente o alla riflessione.
Dalla geometria alla fase
La differenza di cammino diventa differenza di fase
Supponi che due onde coerenti partano in fase e percorrano distanze diverse prima di raggiungere un punto M. Se i loro cammini sono r₁ e r₂, la differenza di cammino è δ = r₂ − r₁. La distanza in più diventa uno sfasamento.
φ = 2π δ / λ
Un cammino aggiuntivo di una lunghezza d’onda corrisponde a un ciclo di fase completo, φ = 2π, quindi le onde arrivano di nuovo in fase. Mezza lunghezza d’onda in più dà φ = π, perciò arrivano in opposizione.
Rinforzo massimo
δ = mλm è un intero. Per sorgenti inizialmente in fase, le onde arrivano in fase.
Cancellazione massima
δ = (m + 1/2)λCon ampiezze uguali, il minimo ideale è la cancellazione completa.
Esempio 1 · prevedi prima di calcolare
λ = 0,60 m e δ = 1,20 m: che cosa dovrebbe accadere?
Prima di calcolare: 1,20 m corrispondono esattamente a due lunghezze d’onda da 0,60 m. Dopo due cicli completi, le onde dovrebbero ritrovarsi con la stessa fase relativa.
Calcolo: δ/λ = 1,20 / 0,60 = 2, un intero, quindi δ = 2λ.
Conclusione: due sorgenti partite in fase producono un massimo costruttivo in quel punto.
Variante: se δ = 0,90 m, allora δ/λ = 1,5 = 1 + 1/2. Le onde arrivano in opposizione e producono la cancellazione più forte consentita dalle loro ampiezze.
Ampiezza ≠ intensità
Perché una frangia luminosa può essere quattro volte più intensa?
Per due onde luminose coerenti di intensità I₁ e I₂, l’intensità risultante dipende dalla loro differenza di fase. Il termine con il coseno è il termine di interferenza.
I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos φ
Se I₁ = I₂ = I₀, allora I = 4I₀ cos²(φ/2). Al massimo costruttivo l’ampiezza del campo raddoppia e l’intensità diventa 4I₀, perché l’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza del campo. Al minimo ideale, contributi uguali possono dare intensità nulla in quel punto.
Esperimento della doppia fenditura di Young
Trasforma una differenza di cammino in frange visibili
Nell’esperimento di Young, un’onda illumina due fenditure strette. Le fenditure agiscono come due sorgenti secondarie coerenti. Le loro onde si sovrappongono su uno schermo e formano frange chiare e scure alternate.
Per uno schermo lontano e piccoli angoli, la geometria dà δ ≈ a sin θ ≈ ax/D, dove a è la distanza tra le fenditure, D la distanza tra le fenditure e lo schermo, e x la posizione del punto di osservazione sullo schermo.
Nel diagramma, S è la sorgente originaria che illumina entrambe le fenditure. M è un punto scelto sullo schermo. In M, confronta i due cammini per stabilire se i contributi si rinforzano o si cancellano.
Ssorgente luminosa originaria
adistanza tra le fenditure
Ddistanza fenditure-schermo
M / xM è il punto osservato; x ne indica la posizione sullo schermo
S
M
a
D
Distanza tra frange luminose adiacentii = λD / a
Importante: questa formula per la distanza tra le frange usa l’approssimazione dei piccoli angoli e assume che D sia grande rispetto alla distanza tra le fenditure.
Esempio 2 · fenditure di Young
Qual è la distanza tra due frange luminose vicine?
Usa luce con λ = 600 nm, due fenditure separate da a = 0,30 mm, e uno schermo a D = 2,0 m.
Converti prima le unità: λ = 6,00 × 10⁻⁷ m e a = 3,0 × 10⁻⁴ m.
i = λD/a = (6,00 × 10⁻⁷ × 2,0)/(3,0 × 10⁻⁴) = 4,0 × 10⁻³ m
Quindi i = 4,0 mm. I massimi luminosi adiacenti distano circa quattro millimetri.
Controlla l’andamento: aumentare D allarga la distanza tra le frange. Anche diminuire a le allarga. L’equazione prevede entrambe le tendenze.
Esercizi
Tocca a te: due problemi brevi
Costruttiva o distruttiva?
Due onde hanno λ = 4,0 cm e arrivano con una differenza di cammino δ = 10,0 cm. Identifica la condizione di interferenza.
Mostra la soluzione
δ/λ = 10,0/4,0 = 2,5 = 2 + 1/2. È soddisfatta la condizione semintera, quindi per sorgenti inizialmente in fase le onde arrivano in opposizione. Con ampiezze uguali, la cancellazione è completa.
Calcola la distanza tra le frange
λ = 500 nm, D = 1,50 m e a = 0,25 mm. Calcola i.
Mostra la soluzione
Risposta: λ = 5,00 × 10⁻⁷ m e a = 2,5 × 10⁻⁴ m. Quindi i = λD/a = 3,0 × 10⁻³ m = 3,0 mm.
Perché: converti sia i nanometri sia i millimetri in metri prima di sostituire i valori, in modo che tutte le grandezze usino unità SI coerenti.
Controllo: una distanza tra le frange dell’ordine dei millimetri è plausibile con luce visibile, fenditure distanti meno di un millimetro e uno schermo a distanza dell’ordine del metro.
Tieni distinti questi concetti
Sovrapposizione è la somma istantanea delle grandezze d’onda. Interferenza è la figura di rinforzo e cancellazione prodotta da quella somma. Coerenza significa che la relazione di fase è abbastanza stabile da mantenere osservabile la figura.
Un passo in più
Le consuete condizioni su δ richiedono precise ipotesi
Le relazioni δ = mλ e δ = (m + 1/2)λ seguono direttamente quando le due sorgenti partono in fase e non viene introdotto alcuno sfasamento aggiuntivo. Una riflessione o la propagazione attraverso mezzi differenti possono aggiungere sfasamenti, che vanno inclusi separatamente.
Se le frequenze differiscono o la fase relativa cambia rapidamente, massimi e minimi non restano fissi. Il semplice sistema di frange si sposta o si media e perde contrasto, anche se la sovrapposizione continua a valere istante per istante.
L’interferenza fa parte dello studio più ampio delle onde. Continua con onde per ripassare lunghezza d’onda, frequenza e propagazione, oppure passa a diffrazione per vedere come aperture finite modificano le figure d’onda.