Sobreposição
No mesmo lugar e instante, somam-se as grandezas das ondas: y = y₁ + y₂.
Ondas · sobreposição · fase
Interferência
Quando duas ondas se sobrepõem, os seus deslocamentos ou campos sobrepõem-se. Dependendo da sua fase relativa, o resultado pode ser reforço, cancelamento parcial ou — quando as amplitudes são iguais — cancelamento completo num ponto. Uma diferença nas distâncias percorridas cria uma diferença de percurso, que muitas vezes transforma a geometria num padrão observável de zonas claras e escuras, sons fortes e fracos ou oscilações grandes e pequenas.
φ · diferença de faseδ · diferença de percursoλ · comprimento de onda
A ideia essencial
Soma primeiro as ondas, não os seus «efeitos» por palpite
Num sistema linear em que se aplica a sobreposição, o deslocamento observado num dado lugar e instante é a soma algébrica dos deslocamentos que cada onda produziria separadamente. Crista mais crista dá um deslocamento maior. Uma crista que encontra um vale reduz a resultante.
Para ondas sinusoidais da mesma frequência, a diferença de fase φ indica em que ponto do ciclo uma oscilação se encontra relativamente à outra. Para φ = 0° estão em fase. Para φ = 180° = π rad estão em oposição. Diferenças de fase intermédias produzem reforços ou cancelamentos intermédios.
Diferença de fase
Mede o desfasamento dentro do ciclo. Um ciclo completo corresponde a 2π rad = 360°.
Diferença de percurso
Se duas ondas coerentes percorrem distâncias diferentes, o percurso adicional pode criar um desfasamento.
O modelo matemático
O que resulta realmente da soma de duas sinusoides?
Num ponto, escreve y₁ = A sin(ωt) e y₂ = rA sin(ωt + φ). O fator r é a amplitude da segunda onda relativamente à primeira. Como as duas ondas têm a mesma frequência, a sua soma é outra sinusoide dessa frequência, com nova amplitude e nova fase.
Amplitude resultanteR = A√(1 + r² + 2r cos φ)
Se r = 1R = 2A |cos(φ/2)|
Para φ = 0°, as ondas reforçam-se ao máximo e a amplitude é A(1 + r). Para φ = 180°, a amplitude mínima é A|1 − r|. Cancelamento completo só é, portanto, possível quando as duas amplitudes são iguais.
Minilaboratório
Altera a fase e observa a soma atualizar-se ponto a ponto
As três curvas resultam diretamente das equações acima: y₁, y₂ e a sua soma y₁ + y₂. Altera a diferença de fase e a amplitude relativa da segunda onda. Os três gráficos usam a mesma escala vertical, pelo que as comparações de amplitude continuam significativas.
δ / λ equivalente*0
Amplitude resultante2,00 A
Efeitomáximo construtivo
Máximo construtivoAs ondas estão em fase, por isso as suas amplitudes somam-se ao máximo.
Reforço / cancelamento parcialUma fase intermédia produz uma resultante entre os dois casos limite.
MínimoA 180° as ondas estão em oposição. Amplitudes iguais podem cancelar-se completamente.
Como ler o gráfico: compara primeiro as duas ondas superiores e depois observa a resultante abaixo. Cristas coincidentes aumentam a resultante; uma crista frente a um vale reduz-a.
* A relação φ = 2πδ/λ aplica-se aqui quando a diferença de fase resulta apenas de uma diferença de percurso entre ondas da mesma frequência, sem desfasamento adicional da fonte ou da reflexão.
Da geometria à fase
A diferença de percurso torna-se diferença de fase
Supondo que duas ondas coerentes partem em fase e percorrem distâncias diferentes até chegar a um ponto M. Se os seus percursos são r₁ e r₂, a diferença de percurso é δ = r₂ − r₁. A distância adicional transforma-se num desfasamento.
φ = 2π δ / λ
Um percurso adicional de um comprimento de onda corresponde a um ciclo de fase completo, φ = 2π, pelo que as ondas voltam a chegar em fase. Meio comprimento de onda adicional dá φ = π, logo chegam em oposição.
Reforço máximo
δ = mλm é um número inteiro. Para fontes inicialmente em fase, as ondas chegam em fase.
Cancelamento máximo
δ = (m + 1/2)λCom amplitudes iguais, o mínimo ideal é um cancelamento completo.
Exemplo 1 · prevê antes de calcular
λ = 0,60 m e δ = 1,20 m: o que deverá acontecer?
Antes de calcular: 1,20 m correspondem exatamente a dois comprimentos de onda de 0,60 m. Após dois ciclos completos, as ondas devem regressar à mesma fase relativa.
Cálculo: δ/λ = 1,20 / 0,60 = 2, um inteiro, portanto δ = 2λ.
Conclusão: duas fontes que partiram em fase produzem um máximo construtivo nesse ponto.
Variação: se δ = 0,90 m, então δ/λ = 1,5 = 1 + 1/2. As ondas chegam em oposição e produzem o cancelamento mais forte permitido pelas suas amplitudes.
Amplitude ≠ intensidade
Por que pode uma franja brilhante ser quatro vezes mais intensa?
Para duas ondas luminosas coerentes de intensidades I₁ e I₂, a intensidade resultante depende da diferença de fase. O termo cosseno é o termo de interferência.
I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos φ
Se I₁ = I₂ = I₀, então I = 4I₀ cos²(φ/2). No máximo construtivo, a amplitude do campo duplica e a intensidade torna-se 4I₀, porque a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude do campo. No mínimo ideal, contribuições iguais podem dar intensidade nula nesse ponto.
Experiência da dupla fenda de Young
Transforma uma diferença de percurso em franjas visíveis
Na experiência de Young, uma onda ilumina duas fendas estreitas. As fendas funcionam como duas fontes secundárias coerentes. As suas ondas sobrepõem-se num ecrã e formam franjas claras e escuras alternadas.
Para um ecrã distante e pequenos ângulos, a geometria dá δ ≈ a sin θ ≈ ax/D, onde a é a distância entre as fendas, D a distância entre as fendas e o ecrã, e x a posição do ponto de observação no ecrã.
No diagrama, S é a fonte original que ilumina ambas as fendas. M é um ponto escolhido no ecrã. Em M, compara os dois percursos para decidir se as contribuições se reforçam ou se cancelam.
Sfonte luminosa original
adistância entre as fendas
Ddistância fendas-ecrã
M / xM é o ponto observado; x indica a sua posição no ecrã
S
M
a
D
Distância entre franjas brilhantes adjacentesi = λD / a
Importante: esta fórmula para o espaçamento das franjas usa a aproximação de pequenos ângulos e assume que D é grande em comparação com a separação das fendas.
Exemplo 2 · fendas de Young
Qual é a distância entre franjas brilhantes vizinhas?
Usa luz com λ = 600 nm, duas fendas separadas por a = 0,30 mm, e um ecrã a D = 2,0 m.
Converte primeiro as unidades: λ = 6,00 × 10⁻⁷ m e a = 3,0 × 10⁻⁴ m.
i = λD/a = (6,00 × 10⁻⁷ × 2,0)/(3,0 × 10⁻⁴) = 4,0 × 10⁻³ m
Logo, i = 4,0 mm. Máximos brilhantes adjacentes ficam separados por cerca de quatro milímetros.
Verifica a tendência: aumentar D aumenta o espaçamento das franjas. Diminuir a também o aumenta. A equação prevê ambas as tendências.
Prática
A tua vez: dois problemas curtos
Construtiva ou destrutiva?
Duas ondas têm λ = 4,0 cm e chegam com diferença de percurso δ = 10,0 cm. Identifica a condição de interferência.
Mostrar a solução
δ/λ = 10,0/4,0 = 2,5 = 2 + 1/2. A condição seminteira é satisfeita, por isso ondas de fontes inicialmente em fase chegam em oposição. Com amplitudes iguais, o cancelamento é completo.
Calcula o espaçamento das franjas
λ = 500 nm, D = 1,50 m e a = 0,25 mm. Calcula i.
Mostrar a solução
Resposta: λ = 5,00 × 10⁻⁷ m e a = 2,5 × 10⁻⁴ m. Portanto, i = λD/a = 3,0 × 10⁻³ m = 3,0 mm.
Porquê: converte nanómetros e milímetros para metros antes de substituir, para que todas as grandezas usem unidades SI coerentes.
Verificação: um espaçamento da ordem dos milímetros é plausível com luz visível, separação entre fendas inferior a um milímetro e distância ao ecrã da ordem de um metro.
Mantém estes conceitos distintos
Sobreposição é a soma instantânea das grandezas de onda. Interferência é o padrão de reforço e cancelamento produzido por essa soma. Coerência significa que a relação de fase é suficientemente estável para o padrão permanecer observável.
Um passo além
As condições usuais para δ exigem as suas hipóteses
As relações δ = mλ e δ = (m + 1/2)λ resultam diretamente quando as duas fontes começam em fase e não é introduzido nenhum desfasamento adicional. Uma reflexão ou a propagação através de meios diferentes pode acrescentar desfasamentos, que devem ser considerados separadamente.
Se as frequências forem diferentes ou a fase relativa mudar rapidamente, máximos e mínimos não permanecem fixos. O padrão simples de franjas desloca-se ou é sujeito a média e perde contraste, embora a sobreposição continue válida instante a instante.
A interferência integra o estudo mais amplo das ondas. Continua com ondas para rever comprimento de onda, frequência e propagação, ou passa a difração para ver como aberturas finitas alteram os padrões de onda.