Superposition
Am selben Ort und zur selben Zeit werden die Wellengrößen addiert: y = y₁ + y₂.
Wellen · Superposition · Phase
Interferenz
Wenn sich zwei Wellen überlagern, werden ihre Auslenkungen oder Felder überlagert. Je nach ihrer relativen Phasekann das Ergebnis Verstärkung, teilweise Auslöschung oder — bei gleichen Amplituden — vollständige Auslöschung an einem Punkt sein. Ein Unterschied der zurückgelegten Strecken erzeugt eine Wegdifferenz, die Geometrie häufig in ein beobachtbares Muster aus hell und dunkel, laut und leise oder großen und kleinen Schwingungen übersetzt.
φ · Phasendifferenzδ · Wegdifferenzλ · Wellenlänge
Die zentrale Idee
Zuerst die Wellen addieren — nicht ihre „Wirkungen“ erraten
In einem linearen System, in dem Superposition gilt, ist die an einem Ort zu einem Zeitpunkt beobachtete Auslenkung die algebraische Summe der Auslenkungen, die jede Welle einzeln erzeugen würde. Wellenberg plus Wellenberg ergibt eine größere Auslenkung. Trifft ein Wellenberg auf ein Wellental, wird die Resultierende kleiner.
Für sinusförmige Wellen gleicher Frequenz beschreibt die Phasendifferenz φ , an welcher Stelle ihres Zyklus sich eine Schwingung relativ zur anderen befindet. Bei φ = 0° sind sie gleichphasig. Bei φ = 180° = π rad sind sie gegenphasig. Dazwischen liegen entsprechend teilweise Verstärkung oder Auslöschung.
Phasendifferenz
Sie misst den Versatz innerhalb eines Zyklus. Ein vollständiger Zyklus entspricht 2π rad = 360°.
Wegdifferenz
Legen zwei kohärente Wellen unterschiedliche Strecken zurück, kann der zusätzliche Weg eine Phasenverschiebung erzeugen.
Das mathematische Modell
Was ergibt die Addition zweier Sinusschwingungen tatsächlich?
An einem Punkt schreibe y₁ = A sin(ωt) und y₂ = rA sin(ωt + φ). Der Faktor r ist die Amplitude der zweiten Welle relativ zur ersten. Da beide Wellen dieselbe Frequenz besitzen, ist ihre Summe wieder eine Sinusschwingung dieser Frequenz, jedoch mit neuer Amplitude und Phase.
Resultierende AmplitudeR = A√(1 + r² + 2r cos φ)
Wenn r = 1R = 2A |cos(φ/2)|
Bei φ = 0° verstärken sich die Wellen maximal und die Amplitude beträgt A(1 + r). Bei φ = 180° ist die minimale Amplitude A|1 − r|. Vollständige Auslöschung ist daher nur möglich, wenn beide Amplituden gleich groß sind.
Mini-Labor
Ändere die Phase und beobachte die Summe Punkt für Punkt
Die drei Kurven folgen direkt aus den Gleichungen oben: y₁, y₂ und ihre Summe y₁ + y₂. Ändere die Phasendifferenz und die relative Amplitude der zweiten Welle. Alle drei Diagramme verwenden dieselbe vertikale Skala, sodass Amplituden sinnvoll miteinander verglichen werden können.
Entsprechendes δ / λ*0
Resultierende Amplitude2,00 A
Wirkungkonstruktives Maximum
Konstruktives MaximumDie Wellen sind gleichphasig, daher addieren sich ihre Amplituden maximal.
Teilweise Verstärkung / AuslöschungEine mittlere Phasenlage ergibt eine Resultierende zwischen den beiden Grenzfällen.
MinimumBei 180° sind die Wellen gegenphasig. Gleiche Amplituden können sich vollständig auslöschen.
So liest man das Diagramm: Vergleiche zuerst die beiden oberen Wellen und betrachte anschließend die Resultierende darunter. Zusammentreffende Wellenberge vergrößern die Resultierende; ein Wellenberg gegenüber einem Wellental verkleinert sie.
* Die Beziehung φ = 2πδ/λ gilt hier, wenn die Phasendifferenz ausschließlich aus einer Wegdifferenz gleichfrequenter Wellen entsteht und keine zusätzliche Quellen- oder Reflexionsphasenverschiebung vorliegt.
Von der Geometrie zur Phase
Aus Wegdifferenz wird Phasendifferenz
Angenommen, zwei kohärente Wellen starten gleichphasig und legen bis zu einem Punkt M unterschiedliche Strecken zurück. Sind ihre Weglängen r₁ und r₂, dann ist die Wegdifferenz δ = r₂ − r₁. Der zusätzliche Weg wird zu einem Phasenversatz.
φ = 2π δ / λ
Ein zusätzlicher Weg von einer Wellenlänge entspricht einem vollständigen Phasenzyklus φ = 2π; die Wellen treffen also wieder gleichphasig ein. Eine zusätzliche halbe Wellenlänge ergibt φ = π, sodass sie gegenphasig eintreffen.
Maximale Verstärkung
δ = mλm ist eine ganze Zahl. Bei anfangs gleichphasigen Quellen treffen die Wellen gleichphasig ein.
Maximale Auslöschung
δ = (m + 1/2)λBei gleichen Amplituden entspricht das ideale Minimum vollständiger Auslöschung.
Beispiel 1 · erst vorhersagen, dann rechnen
λ = 0,60 m und δ = 1,20 m: Was sollte passieren?
Vor der Rechnung: 1,20 m entsprechen genau zwei Wellenlängen von 0,60 m. Nach zwei vollständigen Zyklen sollten die Wellen wieder dieselbe relative Phase besitzen.
Rechnung: δ/λ = 1,20 / 0,60 = 2, eine ganze Zahl, also δ = 2λ.
Schlussfolgerung: Zwei Quellen, die gleichphasig gestartet sind, erzeugen an diesem Punkt ein konstruktives Maximum.
Variante: Wenn δ = 0,90 m, dann gilt δ/λ = 1,5 = 1 + 1/2. Die Wellen treffen gegenphasig ein und erzeugen die stärkste durch ihre Amplituden mögliche Auslöschung.
Amplitude ≠ Intensität
Warum kann eine helle Interferenzlinie viermal so intensiv sein?
Für zwei kohärente Lichtwellen mit den Intensitäten I₁ und I₂ hängt die resultierende Intensität von ihrer Phasendifferenz ab. Der Kosinusterm ist der Interferenzterm.
I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos φ
Wenn I₁ = I₂ = I₀, dann I = 4I₀ cos²(φ/2). Im konstruktiven Maximum verdoppelt sich die Feldamplitude und die Intensität wird 4I₀, weil die Intensität proportional zum Quadrat der Feldamplitude ist. Im idealen Minimum können gleich große Beiträge an diesem Ort Intensität null ergeben.
Youngs Doppelspaltexperiment
Eine Wegdifferenz in sichtbare Interferenzstreifen übersetzen
Im Youngschen Experiment beleuchtet eine Welle zwei schmale Spalte. Die Spalte wirken als zwei kohärente Sekundärquellen. Ihre Wellen überlagern sich auf einem Schirm und bilden abwechselnd helle und dunkle Interferenzstreifen.
Für einen weit entfernten Schirm und kleine Winkel ergibt die Geometrie δ ≈ a sin θ ≈ ax/D, wobei a der Spaltabstand ist, D der Abstand zwischen Spalten und Schirm und x die Position des Beobachtungspunkts auf dem Schirm.
Im Diagramm ist S die ursprüngliche Quelle, die beide Spalte beleuchtet. M ein ausgewählter Punkt auf dem Schirm. In M werden die beiden Weglängen verglichen, um zu entscheiden, ob sich die Beiträge verstärken oder auslöschen.
Sursprüngliche Lichtquelle
aAbstand zwischen den Spalten
DAbstand Spalt–Schirm
M / xM ist der Beobachtungspunkt; x gibt seine Position auf dem Schirm an
S
M
a
D
Abstand benachbarter heller Interferenzstreifeni = λD / a
Wichtig: Diese Formel für den Streifenabstand verwendet die Kleinwinkelnäherung und setzt voraus, dass D groß gegenüber dem Spaltabstand ist.
Beispiel 2 · Youngs Doppelspalt
Wie groß ist der Abstand benachbarter heller Interferenzstreifen?
Verwende Licht mit λ = 600 nm, zwei Spalte mit dem Abstand a = 0,30 mmund einen Schirm im Abstand D = 2,0 m.
Zuerst die Einheiten umrechnen: λ = 6,00 × 10⁻⁷ m und a = 3,0 × 10⁻⁴ m.
i = λD/a = (6,00 × 10⁻⁷ × 2,0)/(3,0 × 10⁻⁴) = 4,0 × 10⁻³ m
Damit gilt i = 4,0 mm. Benachbarte helle Maxima liegen etwa vier Millimeter auseinander.
Trend prüfen: Ein größeres D vergrößert den Streifenabstand. Ein kleineres a ebenfalls. Die Gleichung sagt beide Trends voraus.
Übung
Jetzt selbst: zwei kurze Aufgaben
Konstruktiv oder destruktiv?
Zwei Wellen haben λ = 4,0 cm und treffen mit der Wegdifferenz δ = 10,0 cm ein. Bestimme die Interferenzbedingung.
Lösung anzeigen
δ/λ = 10,0/4,0 = 2,5 = 2 + 1/2. Die Halbzahlbedingung ist erfüllt; bei anfangs gleichphasigen Quellen treffen die Wellen daher gegenphasig ein. Bei gleichen Amplituden ist die Auslöschung vollständig.
Streifenabstand berechnen
λ = 500 nm, D = 1,50 m und a = 0,25 mm. Berechne i.
Lösung anzeigen
Antwort: λ = 5,00 × 10⁻⁷ m und a = 2,5 × 10⁻⁴ m. Daher ist i = λD/a = 3,0 × 10⁻³ m = 3,0 mm.
Warum: Nanometer und Millimeter vor dem Einsetzen in Meter umrechnen, damit alle Größen konsistente SI-Einheiten besitzen.
Plausibilitätsprüfung: Ein Streifenabstand im Millimeterbereich ist bei sichtbarem Licht, einem Spaltabstand unter einem Millimeter und einem Schirmabstand im Meterbereich plausibel.
Diese Begriffe auseinanderhalten
Superposition ist die momentane Addition der Wellengrößen. Interferenz ist das durch diese Addition entstehende Muster aus Verstärkung und Auslöschung. Kohärenz bedeutet, dass die Phasenbeziehung stabil genug ist, damit das Muster beobachtbar bleibt.
Einen Schritt weiter
Die bekannten δ-Bedingungen gelten nur unter bestimmten Voraussetzungen
Die Beziehungen δ = mλ und δ = (m + 1/2)λ folgen unmittelbar, wenn beide Quellen gleichphasig starten und keine zusätzliche Phasenverschiebung auftritt. Reflexionen oder die Ausbreitung durch unterschiedliche Medien können weitere Phasenverschiebungen hinzufügen, die separat berücksichtigt werden müssen.
Unterscheiden sich die Frequenzen oder ändert sich die relative Phase schnell, bleiben Maxima und Minima nicht ortsfest. Das einfache Streifenmuster wandert oder mittelt sich aus und verliert Kontrast, obwohl Superposition weiterhin in jedem Augenblick gilt.
Interferenz gehört zum umfassenderen Thema der Wellen. Weiter geht es mit Wellen , um Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitung zu wiederholen, oder mit Beugung , um zu sehen, wie endliche Öffnungen Wellenmuster verändern.