Quantenzahlen
Quantenzahlen sind die Kennzahlen, mit denen sich ein Elektronenzustand in einem Atom beschreiben lässt. Sie sind keine vier willkürlichen Merksätze: Jede Quantenzahl grenzt den Zustand weiter ein – von der Schale über die Unterschale und ein bestimmtes Orbital bis zur Spinprojektion des Elektrons.
Die vier Quantenzahlen
Hauptquantenzahl n
n = 1, 2, 3… Sie legt die Schale fest und beeinflusst Größe und Energieskala eines Orbitals stark.
Bahndrehimpuls-Quantenzahl ℓ
ℓ reicht von 0 bis n−1. ℓ = 0, 1, 2, 3 entsprechen den s-, p-, d- und f-Unterschalen.
Magnetische Quantenzahl mℓ
mℓ reicht von −ℓ bis +ℓ. Es unterscheidet die 2ℓ+1 Orbitale einer Unterschale.
Spinprojektion mₛ
mₛ = +1/2 oder −1/2. Es kennzeichnet die beiden erlaubten Spinprojektionen eines Elektrons in einem Orbital.
Der Begriff „Spin“ ist historisch und nützlich, doch ein Elektron ist nicht buchstäblich eine kleine starre Kugel, die sich klassisch dreht. Spin ist eine intrinsische Quanteneigenschaft mit messbarem Drehimpuls und magnetischen Folgen.
Von Quantenzahlen zu Orbitalen
Für ein 3d Orbital gilt n = 3, und d bedeutet ℓ = 2. Daher kann mℓ die Werte −2, −1, 0, +1 oder +2 annehmen: fünf mögliche d-Orbitale. Für eine 4f Unterschale gilt ℓ = 3; daraus folgen sieben mℓ-Werte und sieben Orbitale.
Die Kapazität folgt unmittelbar daraus. Jedes Orbital kann zwei Elektronen mit entgegengesetzten mₛ-Werten aufnehmen; daher fasst eine p-Unterschale 3 × 2 = 6 Elektronen, d fasst 10 und f 14.
Das Pauli-Ausschlussprinzip lässt sich nun präzise formulieren: In einem Atom besitzen keine zwei Elektronen denselben vollständigen Satz aus vier Quantenzahlen.
Erlaubte und unmögliche Kombinationen
Die Einschränkungen sind hierarchisch. Für n = 2 kann ℓ nur 0 oder 1 sein. Ein „2d“-Zustand würde ℓ = 2 erfordern und ist daher unmöglich. Für ℓ = 1 kann mℓ nur −1, 0 oder +1 sein; mℓ = +2 kann nicht zu einer p-Unterschale gehören.
Quantenzahl-Prüfer
Chemische Folgen der Quantenzahlstruktur
Quantenzahlen bestimmen die Orbitalentartung, die Knotenstruktur und die für Elektronen verfügbaren Zustände. Diese Eigenschaften prägen wiederum Elektronenkonfigurationen, die Blöcke des Periodensystems, die Spektroskopie und die chemische Bindung.
Auswahlregeln für Atomspektren werden durch Änderungen von Quantenzahlen formuliert. Bahndrehimpuls und Spin tragen außerdem zu atomaren magnetischen Momenten bei. In Mehrelektronenatomen spalten Elektronenwechselwirkungen Zustände auf, die im Einelektronen-Wasserstoffmodell dieselbe Energie hätten.
Die Notation ist daher nicht bloß ein Klassifikationsschema: Sie fasst die Symmetrie und die erlaubten Zustände des Quantenproblems zusammen.
Schalenkapazität aus den erlaubten Quantenzuständen
Für ein festes n reichen die erlaubten ℓ-Werte von 0 bis n − 1. Zu jedem ℓ gehören 2ℓ + 1 Werte von mℓ. Die Summe dieser Orbitalzahlen ergibt 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² Orbitale in der Schale n. Nach Pauli sind pro Orbital zwei Spinprojektionen erlaubt; daraus folgt ein Maximum von 2n² Elektronen.
Damit enthält n = 3 insgesamt 9 Orbitale: ein 3s-, drei 3p- und fünf 3d-Orbitale mit Platz für 18 Elektronen. Dieses Ergebnis ist keine zusätzliche Merksatzformel, sondern folgt aus den erlaubten Quantenzahlkombinationen.
Knoten folgen aus n und ℓ
Ein Atomorbital besitzt insgesamt n − 1 Knoten. Davon sind ℓ Winkelknoten und n − ℓ − 1 Radialknoten. Ein 4d-Orbital hat daher 3 Knoten: 2 Winkelknoten und 1 Radialknoten. Ein 4s-Orbital besitzt ebenfalls 3 Knoten, aber alle 3 sind radial.
Knoten sind chemisch wichtig, weil sie Eindringtiefe und Überlappung verändern. Ein Orbital mit einem kernnahen radialen Lappen kann weniger Abschirmung erfahren, während Winkelknoten bestimmen, wo bei einer Bindung konstruktive oder destruktive Überlappung auftreten kann.
Quantenzahlen und Spektren
Atomare Spektrallinien entstehen, wenn ein Atom zwischen erlaubten Energiezuständen wechselt. Auswahlregeln lassen sich natürlich mit Quantenzahlen formulieren; ein elektrischer Dipolübergang ändert beispielsweise typischerweise ℓ um ±1. Dadurch verbinden Quantenzahlen abstrakte Orbitalbezeichnungen mit direkt beobachteten Absorptions- und Emissionsspektren.
In Mehrelektronenatomen werden für die Feinstruktur zusätzliche Quantenzahlen benötigt, die den gesamten Bahn- und Spindrehimpuls beschreiben. Die vier Einelektronen-Quantenzahlen bleiben jedoch der Ausgangspunkt.
Ausgearbeitete Dekodierungsbeispiele
| Bezeichnung | n | ℓ | mögliche mℓ | Orbitale |
|---|---|---|---|---|
| 2s | 2 | 0 | 0 | 1 |
| 3p | 3 | 1 | −1, 0, +1 | 3 |
| 4d | 4 | 2 | −2…+2 | 5 |
| 5f | 5 | 3 | −3…+3 | 7 |
Die Buchstabenfolge ist lediglich eine Übersetzung von ℓ: 0 → s, 1 → p, 2 → d, 3 → f. Sobald diese Zuordnung verstanden ist, werden scheinbar kryptische Bezeichnungen zu kompakten Quantenzahlaussagen.
Ein Elektron gegenüber dem ganzen Atom
Die vier Quantenzahlen kennzeichnen in der Orbitalnäherung Einelektronenzustände. Ein Mehrelektronenatom benötigt zusätzliche Bezeichnungen dafür, wie sich einzelne Drehimpulse und Spins koppeln. In der Spektroskopie werden dafür Termsymbole wie ³P oder ²D verwendet.
Diese Unterscheidung verhindert eine Überinterpretation: Jedem Elektron n, ℓ, mℓ und mₛ zuzuordnen ist ein leistungsfähiges Modell, doch ein wechselwirkendes Mehrelektronenatom ist nicht buchstäblich eine Ansammlung unabhängiger Wasserstoffatome.
Magnetische Quantenzahl bedeutet nicht „Magnetposition“
Der Name stammt von der Wechselwirkung des Bahndrehimpulses mit einem Magnetfeld. mℓ gibt die Projektion des Bahndrehimpulses auf eine gewählte Achse an. Ohne äußeres Feld oder molekulare Umgebung können verschiedene Orientierungen innerhalb einer Unterschale energetisch gleichwertig sein.
Ein Magnetfeld kann diese Orientierungen aufspalten – der Zeeman-Effekt – und die Quantenzahl dadurch direkt über die Aufspaltung von Spektrallinien beobachtbar machen.
Übungen
4p
Gib n, ℓ und die erlaubten mℓ-Werte für eine 4p-Unterschale an.
Lösung
n = 4, ℓ = 1; mℓ = −1, 0, +1.
Unmöglicher Satz
Ist n = 3, ℓ = 3, mℓ = 0, mₛ = +1/2 erlaubt?
Lösung
Nein. Für n = 3 kann ℓ nur 0, 1 oder 2 sein. ℓ = 3 ist unmöglich.
Kapazität
Wie viele Elektronen kann eine 4f-Unterschale aufnehmen?
Lösung
ℓ = 3 ergibt 2ℓ + 1 = 7 Orbitale. Bei zwei Elektronen pro Orbital beträgt die Kapazität = 14 Elektronen.